ТФКП. Равномерная сходимость ФП

[Alexp239]

Задача:
Дано, что
1) $\left\lbrace f_n(z)\right\rbrace$ аналитичны в области $D$
2) $\left\lbrace \operatorname{Re}(f_n(z))\right\rbrace$ равномерно сходится в $D$
3) $\left\lbrace f_n(z)\right\rbrace$ сходится в точке $z_0\inD$
Следует ли, что $\left\lbrace f_n(z)\right\rbrace$ равномерно сходится внутри области $D$ ?

Пытаюсь доказать, что следует.
Пробовал через условия Коши-Римана и гармоничность $ u(x, y), v(x, y)$ доказать равномерную сходимость $ v(x, y)$. Но пока не получается.
Сходимость в точке очень напоминает теорему о почленном дифференцировании функциональной последовательности. Но как ее здесь применить? И как она работает для функций двух переменных?

-- 21.05.2016, 00:46 --

Пока получается так:
Если я как-то докажу, что $\left\lbrace u_n(x, y)'_x\right\rbrace$ равномерно сходится в $D$. То из условий К-Р $\left\lbrace v_n(x, y)'_y\right\rbrace$ равномерно сходится в $D$. А тут, если можно применять вышеупомянутую теорему, учитывая дифференцируемость $\left\lbrace v_n(x, y)\right\rbrace$ и сходимость $\left\lbrace v_n(x, y)\right\rbrace$ в точке $z_0$, следует равномерная сходимость $\left\lbrace v_n(x, y)\right\rbrace$ в $D$.

Будет ли следовать из этого сходимость в области $D$ или внутри области $D$ ?
И как доказать то, что мне не хватает для доказательства?

[DeBill]

Alexp239
План хорош. Но....

Alexp239 в сообщении #1124809 писал(а):

как-то докажу, что $\left\lbrace u_n(x, y)'_x\right\rbrace$ равномерно сходится в $D$.

Да, это можно. Типа, так: на малом кружочке , гармоническая функция (интеграл Дирихле) восстанавливается по своим граничным значениям, причем это равенство можно и дифференцировать. Поэтому равномерная сходимость последовательности гармонических действительно дает равномерную сходимость - на компактных подмножествах - производных. Так что Вы действительно по этому плану получите требуемое - НА КОМПАКТАХ из области. Но на всей области - будут проблемы...
И посмотрите пример $f_n (z) = \frac{n}{n+1}\cdot \ln z$ в правом полукруге. Как там с вещественной и мнимой частью?

[Alexp239]

DeBill в сообщении #1124853 писал(а):

на малом кружочке , гармоническая функция (интеграл Дирихле) восстанавливается по своим граничным значениям, причем это равенство можно и дифференцировать. Поэтому равномерная сходимость последовательности гармонических действительно дает равномерную сходимость - на компактных подмножествах - производных.

Да, равномерная сходимость будет только внутри $D$. Но как из этого так просто следует равномерная сходимость частных производных? У меня не получилось доказать равномерную сходимостью последовательности интегралов.

[DeBill]

Alexp239 в сообщении #1124881 писал(а):

как из этого так просто следует равномерная

Посмотрите формулу для решения задачи Дирихле на круге.
А пример - разобрали?

[Alexp239]

DeBill в сообщении #1124924 писал(а):

А пример - разобрали?

$\operatorname{Im} f(z)=\frac{n}{n+1}\varphi$ - равномерно сходится в $D$.
$\operatorname{Re} f(z)=\frac{n}{n+1}\ln r$ - равномерно сходится на любом компакте из $D$, не содержащих 0.

DeBill в сообщении #1124924 писал(а):

Посмотрите формулу для решения задачи Дирихле на круге.?

$ u_n(r, \theta)=\frac{1}{2\pi}\int\limits_{0}^{2\pi}\frac{(R^2-r^2)u_n(R, \varphi)}{R^2+r^2-2rR\cos(\theta-\varphi)}d\varphi$
$ (u_n)'_x=(u_n)'_rr'_x + (u_n)'_\theta\theta'_x$
$( u_n)'_r = \frac{1}{2\pi}\int\limits_{0}^{2\pi}\frac{(R^2+r^2-2rR\cos(\theta-\varphi))(-2ru_n(R, \varphi))-(R^2-r^2)u_n(R, \varphi)(2r-2R\cos(\theta-\varphi))}{(R^2+r^2-2rR\cos(\theta-\varphi))^2}d\varphi $
$ r'_x=\frac{1}{\cos\theta} $
$ (u_n)'_\theta=\frac{1}{2\pi}\int\limits_{0}^{2\pi}\frac{-(R^2-r^2)u_n(R, \varphi)2rR\sin(\theta-\varphi)}{(R^2+r^2-2rR\cos(\theta-\varphi))^2}d\varphi $
$ \theta'_x=\frac{-y}{y^2+x^2} $

Если пытаться доказать сходимость по критерию Коши, то там вылезет
$ \left\lvert (u_n)'_\theta-(u_n_+_p)'_\theta \right\rvert = \left\lvert \frac{1}{2\pi}\int\limits_{0}^{2\pi}\frac{-(R^2-r^2)(u_n(R, \varphi)-u_n_+_p(R, \varphi))2rR\sin(\theta-\varphi)}{(R^2+r^2-2rR\cos(\theta-\varphi))^2}d\varphi \right\rvert $
Преобразуем, учитывая, что $0\leqslant r < R$.
$ \left\lvert (u_n)'_\theta-(u_n_+_p)'_\theta \right\rvert = \left\lvert \frac{1}{2\pi}\int\limits_{0}^{2\pi}\frac{-(1-\frac{r^2}{R^2})(u_n(R, \varphi)-u_n_+_p(R, \varphi))2\frac{r}{R}\sin(\theta-\varphi)}{R(1+\frac{r^2}{R^2}-2\frac{r}{R}\cos(\theta-\varphi))^2}d\varphi \right\rvert $
Пусть $ t = \frac{r}{R}, 0\leqslant t < 1$.
Получим
$ \left\lvert (u_n')_\theta-(u_n_+_p)'_\theta \right\rvert = \left\lvert \frac{1}{2\pi}\int\limits_{0}^{2\pi}\frac{-(1-t^2)2t\sin(\theta-\varphi)(u_n(R, \varphi)-u_n_+_p(R, \varphi))}{R(1+t^2-2t\cos(\theta-\varphi))^2}d\varphi \right\rvert $
Как теперь показать, что при $ t\to1 $ у нас интеграл будет сходится?

[DeBill]

Alexp239 в сообщении #1125255 писал(а):

Как теперь показать, что при $ t\to1 $ у нас интеграл будет сходится?

А никак, потому что ее, сходимости, может, и нет. Да ведь нам и не надо: будем доказывать равномерную сходимость только при $0\leqslant t \leqslant \frac{1}{2}$.
Итого: есть равномерная сходимость на (замкнутом) круге половинного радиуса!
Покрывая любой компакт из области (конечным числом) такими маленькими кругами, получим равномерную сходимость на любом компакте, лежащем в области. И это - максимум, чего мы могли достичь.
А на всей области равномерной сходимости может и не быть, как мы видим в примере (предельная функция - неограничена - значит, нет равномерной сходимости).

[Alexp239]

DeBill в сообщении #1125269 писал(а):

Да ведь нам и не надо: будем доказывать равномерную сходимость только при $0\leqslant t \leqslant \frac{1}{2}$.

Классное предложение!
Но что делать с $ r'_x=\frac{1}{\cos\theta}, 0\leqslant\theta\leqslant2\pi $ ?
$\left\lvert (u_n)'_x - (u_{n+p})'_x\right\rvert=\left\lvert (u_n)'_r - (u_{n+p})'_r\right\rvert \cdot\left\lvert \frac{1}{\cos\theta}\right\rvert +\left\lvert (u_n)'_\theta - (u_{n+p})'_\theta\right\rvert \cdot \left\lvert\theta'_x\right\rvert$

Lia: Пишут u_{n+p} и т.п., а вовсе не так, как Вы думаете. Исправлено.
Смотрите внимательно, чаще всего сообщения об ошибке выдаются автоматически.

[Lia]

Тема перемещена из форума «Помогите решить / разобраться (М)» в форум «Карантин»
по следующим причинам:

- неправильно набраны формулы (краткие инструкции: «Краткий FAQ по тегу [math]» и видеоролик Как записывать формулы);

Исправьте все Ваши ошибки и сообщите об этом в теме Сообщение в карантине исправлено.
Настоятельно рекомендуется ознакомиться с темами Что такое карантин и что нужно делать, чтобы там оказаться и Правила научного форума.

[Lia]

Тема перемещена из форума «Карантин» в форум «Помогите решить / разобраться (М)»

[DeBill]

Alexp239 в сообщении #1125310 писал(а):

что делать с $ r'_x=\frac{1}{\cos\theta}, 0\leqslant\theta\leqslant2\pi $ ?

Исправить ошибку в вычислении этой производной....
Правда, все равно в точке $x=y=0$ останется неприятность. Причина ее - в использовании полярной системы координат: она сама в этой точке нехороша. Ну, можно, например, просто забить на эту точку (вместе с некоторой ее окрестностью) - ну, будет равномерная сходимость на круге с дыркой, делов то... Или, все выкладки проделать таки в декартовой системе к-т. Проще - с учетом мого, что уже куча формул понаписана - первое.