Квазиравномерно сходящаяся последовательность

[loshka]

Здравствуйте, помогите придумать пример когда последовательность сходится квазиравномерна, но не сходится равномерно на компакте.
Мне кажется это должно быть просто, возьмем 2 последовательностей имеющая разную скорость сходимости на $[0;1]$, соединим их что первая последовательность будет $[0;0.5]$ а вторая на $[0.5;1]$ Правда мне не понятен один момент в определение квазиравномерной сходимости, почему нельзя просто взять максимум среди номеров $n_1,n_2,...,n_k$ ведь их конечное число ?

Lia: название темы изменено на более содержательное без согласования с автором.

[Brukvalub]

loshka в сообщении #1124516 писал(а):

почему нельзя просто взять максимум среди номеров $n_1,n_2,...,n_k$ ведь их конечное число ?

Напишите здесь определение квазиравномерной сходимости.

[ewert]

loshka в сообщении #1124516 писал(а):

возьмем 2 последовательностей имеющая разную скорость сходимости на $[0;1]$, соединим их что первая последовательность будет $[0;0.5]$ а вторая на $[0.5;1]$

и получим равномерную сходимость, т.к. их всего лишь две (да хоть бы и любое, но конечное число)

[loshka]

Последовательность $f_n$ сходится квазиравномерно к $f(x)$ на $X=[a;b]$ если для любого $\varepsilon>0$ и каждого номер $n'$ Промежуток $X$ можно покрыть конечным числом открытых промежутков $(a_1;b_1),...,(a_k;b_k)$ и им в соответствие могут быть поставлены номера $n_1,...,n_k$ >$(n')$ таких что для всех $x$ из $(a_i;b_i)$ неравенство $|f_{n_i}(x)-f(x)|< \varepsilon$ выполняется

Просто мне не понятно, если будем соединять счетный набор таких последовательностей, то когда возьмем конечное покрытие все равно получится равномерная сходимость, так как просто максимум возьмем
Я долго искал в какой-нить книжке пример, но к сожалению не нашел

[Brukvalub]

loshka в сообщении #1124525 писал(а):

Последовательность $f_n$ сходится квазиравномерно к $f(x)$ на $X=[a;b]$ если для любого $\varepsilon>0$ и каждого номер $n'$ Промежуток $X$ можно покрыть конечным числом открытых промежутков $(a_1;b_1),...,(a_k;b_k)$ и им в соответствие могут быть поставлены номера $n_1,...,n_k$ таких что для всех $x$ из $(a_i;b_i)$ неравенство $|f_{n_i}(x)-f(x)|< \varepsilon$ выполняется

Где в определении используется "номер $n'$ "? Или он для красоты приписан?

[loshka]

Вы хотите этим сказать, что отсюда следует что среди них нельзя выделить максимальный?

[Brukvalub]

loshka в сообщении #1124527 писал(а):

Вы хотите этим сказать, что отсюда следует что среди них нельзя выделить максимальный?

Я не хочу сказать, а уже сказал, что вы пытаетесь придумать пример к понятию, определение которого выписать правильно не можете! Странная ситуация...

[DeBill]

Ну вот, после того, как в определении

loshka в сообщении #1124525 писал(а):

могут быть поставлены номера $n_1,...,n_k$ >$(n')$ т

появилось неравенство, что то разумное и определилось. И пример можно делать, типа, на одной половине отрезка функции с четными номерами сходятся равномерно, а на другой - с нечетными....

[loshka]

Brukvalub
Странная ситуация... Согласен, может теперь к сути исходя из определения почему нельзя взять максимальный из конечного набора $n_1,...,n_k$ ведь этот максимум будут верным для всего $X$?
DeBill
Честно я просто не понимаю, в чем уникальность что эти номера разные, ведь если я даже разбиваю на 2 интервала на одном беру один номер, а на другом другой и оба они больше какого-то наперед заданного, но это значит что какой-то из этих двух номеров годится на обоих промежутках
Мне было бы проще понять на примере, но я сколько не искал, не в одной книжке не нашел, может подскажете в какой книжке есть?

[Brukvalub]

loshka в сообщении #1124564 писал(а):

исходя из определения почему нельзя взять максимальный из конечного набора $n_1,...,n_k$ ведь этот максимум будут верным для всего $X$?

1. В стандартном определении квазиравномерной сх-сти разрешается брать и счетные открытые покрытия.
2. В отличие от равномерной сходимости, в определении квазиравномерной сх-сти близость последовательности к предельной функции на элементах открытого покрытия не требуется для всех достаточно больших номеров, а только для некоторых достаточно больших номеров, поэтому из квазиравномерной сх-сти равномерную не получить.

[loshka]

Brukvalub в сообщении #1124604 писал(а):

loshka в сообщении #1124564 писал(а):

исходя из определения почему нельзя взять максимальный из конечного набора $n_1,...,n_k$ ведь этот максимум будут верным для всего $X$?

1. В стандартном определении квазиравномерной сх-сти разрешается брать и счетные открытые покрытия.
2. В отличие от равномерной сходимости, в определении квазиравномерной сх-сти близость последовательности к предельной функции на элементах открытого покрытия не требуется для всех достаточно больших номеров, а только для некоторых достаточно больших номеров, поэтому из квазиравномерной сх-сти равномерную не получить.

Извините, но разве это не звучит абсурдно, что значит для некоторых достаточно больших номеров , т.е. какие-то болшие номера не подходят?? Т.е. больше миллиона подошел, а миллиарда уже нет, а квадриллион опять подходит? Я ни в коем случае не критикую Вас, а просто хочу понять, что здесь происходит, не могли бы вы подробней объяснить смысл этой фразы, особенно вот этот момент "для всех достаточно больших номеров, а только для некоторых достаточно больших номеров"

В определение равномерной сходимости необходимо что бы для любого эпсилона существовал номер(т.е. номер зависит от эпсилона), такой что все остальные номера больше его и неравенство выполняется, тут же для любого эпсилона и любого номера должно существовать покрытие, и на каждом элементе покрытия свои номера, получается сколько угодно большой номер бы я не взял должно найтись покрытие и на каждом будут номера больше моего заданного. Разве отсюда не следует что это определение более строгое, так как требуется для больших номеров чем в равномерной сходимости и по прежнему не понятно почему нельзя взять максимум в случае конечного покрытия.

[Brukvalub]

Если утверждается, что существует такое натуральное число $n_0$, для которого нечто выполняется $\forall n>n_0$ , то такую запись можно читать как "нечто выполняется для всех достаточно больших номеров", если же утверждается, что для любого натурального $n_0$ $\exists n>n_0$, для которого нечто выполняется, то это можно читать как "нечто выполняется для некоторых сколь угодно больших номеров".

[loshka]

Хорошо, спасибо это осознал, теперь хочется понять, почему в случае конечного покрытия нельзя взять максимум по всем номерам?

[Brukvalub]

Максимум взять можно, только это не позволит доказать равномерную сходимость.

[loshka]

Это тоже осознал, потому что в равномерной надо для всех номеров больше фиксированного, а мы предоставим только один некоторый номер больше фиксированного, тогда получается что в определение для конечного покрытия избыточно , что бы для каждого элемента покрытия был свой номер, достаточно указать один для всех?