Нелинейное дифференциальное уравнение в частных производных

[Red_Herring]

MarshalBanana в сообщении #1123149 писал(а):

Я так понимаю

Нет. Проделайте Шаг 1 сами (поскольку я не знаю, какие обозначения Вы вытащили из статьи. Правильно будет исправленная (*) и Вы получите ОДУ в котором не будет ни $x$ ни $t$ отдельно а только $xt^{-1/2}=y$. Найдите решение (которое должно зависеть от произвольной константы).

[MarshalBanana]

Red_Herring в сообщении #1123171 писал(а):

Нет. Проделайте Шаг 1 сами (поскольку я не знаю, какие обозначения Вы вытащили из статьи. Правильно будет исправленная (*) и Вы получите ОДУ в котором не будет ни $x$ ни $t$ отдельно а только $xt^{-1/2}=y$. Найдите решение (которое должно зависеть от произвольной константы).

Я на самом деле подставил вашу функцию (*) просто не обозначал $xt^{-1/2}=y$ и не выражал от туда $x$(Если это вообще надо было).

Цитата:

$\nu=t^{1/2}$ и получаем
u(x,t)=t^{-1/2} v (x t^{-1/2})

А там точно перед функцией $t^{-1/2}$.
И да, я забыл на самом деле дописать условия задачи.

$$-\infty<x<+\infty , t\in[0, T], T=const $$

Если это на что-то повлияет

[Red_Herring]

Где ОДУ для $v$?

[TelmanStud]

может попробовать найти сначала какое нибудь стационарное решение $u(x,t)=v(x,t)e^{i\mu t}$, а потом воздействовать соответствующим галилеевым преобразованием, чтоб найти бегущее решение.

[MarshalBanana]

Red_Herring в сообщении #1123215 писал(а):

Где ОДУ для $v$?

Так вот же. в результате.
Просто я там ещё пару вопрос задал по поводу нужно ли выражать $x$ из $xt^{-1/2}=y$ и подставлять его в начальное уравнение. Я просто не совсем понимаю, что я сейчас делаю и как мне это поможет найти начальное условие при $t=0$.

[Red_Herring]

MarshalBanana в сообщении #1123225 писал(а):

Так вот же.
в

Сделайте сами, руками. Т.б. что там вроде неверно.

[MarshalBanana]

Red_Herring в сообщении #1123244 писал(а):

Сделайте сами, руками. Т.б. что там вроде неверно.

Руками я конечно решу, но завтра. И ответьте, пожалуйста, на вопрос.$xt^{-1/2}=y$ отсюда нужно выражать $x$ для замены $x$ в моём уравнении или просто подставляю $u(x,t)=t^{-1/2} v (x t^{-1/2})$.

[Red_Herring]

MarshalBanana в сообщении #1123252 писал(а):

просто подставляю

Просто подставьте, сократите и узрите, что

Red_Herring в сообщении #1123171 писал(а):

получите ОДУ в котором не будет ни $x$ ни $t$ отдельно а только $xt^{-1/2}=y$.

[MarshalBanana]

Red_Herring в сообщении #1123261 писал(а):

Просто подставьте, сократите и узрите

$$ \frac{\partial}{\partial t}(\frac{v(y)}{\sqrt t}) + (\frac{v(y)}{\sqrt t})(\frac{\partial v(y)}{\partial x})=(\frac{v(y)}{\sqrt t})^3 $$

Считаем

$$ - \frac{v(y)}{2t^{3/2}} - \frac{xv'(y)}{2t^2}+ \frac{2v(y)}{\sqrt t}\frac{v'(y)}{t^{3/2}}= \frac{v(y)^3}{2t^{3/2}} $$

Сокращаем на $2t^{3/2}$ и пару преобразований делаем.

$$ v'(y)(\sqrt t x -2v(y))+v(y)-v(y)^3 $$

[Yu_K]

MarshalBanana в сообщении #1123392 писал(а):

Red_Herring в сообщении #1123261 писал(а):

Просто подставьте, сократите и узрите

...
Сокращаем на $2t^{3/2}$ и пару преобразований делаем.

$$ v'(y)(\sqrt t x -2v(y))+v(y)-v(y)^3 $$

Вроде немного напутали - что-то такое должно получиться (кстати Wolfram там выше у Вас правильно все продифференцировал)

$$v'(-y +2v)-v=-2v^3$$

- проверьте еще раз знаки и прочее. Но тоже не очень хорошее уравнение.

То что начали с характеристиками делать - там понятно что решение сильно затухает и асимптотика вроде очевидная. Вообще какая цель ставится - если нужно подобрать функцию, чтобы была красивая явная формула для решения - то это очень маловероятно.

[Red_Herring]

Ну не умеете Вы дифференцировать! В третьем члене во второй строке ошибка. И умножать не умеете.

-- 13.05.2016, 10:42 --

Yu_K в сообщении #1123401 писал(а):

Но тоже не очень хорошее уравнение.

А если считать независимой переменной $v$?

[Yu_K]

Да правильно - был такой порыв - почему то я его отверг. И ещё вопрос - там особенность при $t=0$ - в центрированных волнах это как-то обходится - подзабыл уже - а здесь не ясно что будет.

[Red_Herring]

Yu_K в сообщении #1123401 писал(а):

То что начали с характеристиками делать - там понятно что решение сильно затухает

Отнюдь: за затухание ответственен $-v^3 \ll v$ при $v\ll 1$

[Yu_K]

Red_Herring
Вроде для любых начальных значений, вдоль характеристики решение стремится к нулю. Или там "казусы" могут быть?

[MarshalBanana]

Производную то я правильно посчитал, а вот преобразования на отдельной строчке делать поленился...
Получается что-то такое. Нам сейчас нужно найти $C_1$?