Лагранжиан механической системы

[TelmanStud]

Доброго дня!
На рисунке приведена механическая система состоящая из двух масс $m$ и $5$-ти пружин (жирные линии). Концы четырех (черных) закреплены в точках $A, B, C, D.$

Закон Гука для "черных" пружин $F=F_1(\delta l)$, а для красной $F=F_2(\delta l)$, $\delta l$-удлинение соответствующей пружины. $u, v$ характеризуют смещение от равновесия (пунктирная линия). Движение возможно только по горизонтальным прямым.
Подскажите как будет выглядеть лагранжиан такой системы, а именно потенциальная ее часть.

[svv]

Простите, а в чём конкретно там загвоздка? $L=T-U$; $U=U_1+U_2+U_3+U_4+U_5$; ...

[madschumacher]

Вы лучше скажите, движения происходят в плоскости или в 3D? И там по симметрии сразу можно задачку сильно побить на куски в любом случае (по Т-ме Вигнера-Эккарта).

[TelmanStud]

svv
Вот Ваш $U_5$, что из себя представляет, к примеру?

-- 10.05.2016, 22:49 --

madschumacher
Тела способны двигаться только на прямых $AB$ и $CD$.

[amon]

TelmanStud в сообщении #1122641 писал(а):

Вот Ваш $U_5$, что из себя представляет, к примеру?

Потенциальную энергию номер пять.

[svv]

У меня $U_5$ — потенциальная энергия красной пружины.
$\frac {dU_5(x)}{dx}=-F_2(x)$, где $x$ — удлинение пружины.
$x$, в свою очередь, функция $u$ и $v$.

[Munin]

Например, потенциальную энергию пятой пружины.

А в чём проблема-то? Положение точек дано, дальше по теореме Пифагора вычисляете расстояние между ними, и из него $\delta l.$ Формулы будут неприятные, но может быть, поддающиеся аппроксимации около нуля. Впрочем, кажется, там могут вылезать четвёртые степени.

[madschumacher]

Вобщем!
Для закона Гука $F=kx$, как всем известно $U=\frac{k x^2}{2}$.
Для средней пружины (красной) изменение длины $\delta l_{red} = \sqrt{l_{red, 0}^2 + (u+v)^2} - l_{red, 0} \approx \frac{1}{2 l_{red,0} }(u+v)^2$ (пренебрегли деформацией пружины и вообще посчитали её существенно длиннее величины деформации).
Соотв. $U_{red}(\delta l_{red}) \approx \frac{k_{red}}{4 l_{red,0}} (u+v)^2$.
Для остальных же (черных): $U_{black}=2 \frac{k_{black} v^2}{2} + 2 \frac{k_{black} u^2}{2} =k_{black} (u^2+v^2) $ .

А по симметрии там будут симметричные и антисимметричные колебания с координатами $q_{sym}\propto u+v$ и $q_{anti}\propto u - v$.

[svv]

По первому сообщению у меня сложилось впечатление (может, неправильное), что упругая сила пружинок зависит от $x$ не линейно, а как-то хитрее, эта связь задана функцией $F_1$ или $F_2$.

[TelmanStud]

Извиняюсь, что пропал.
madschumacher
Почему у Вас $U_{red}\sim (u+v)^2$, а не в $4$-ой степени?
Я подразумевал, что $F_1=-k\Delta x$, а красная пружина действует по нелинейному закону Гука $F_2=-\alpha \Delta x+\beta \Delta x^3$.
Но допустим $F_1=-k\Delta x$ и $F_2=-\alpha \delta l$
Удлинение для красной пружины $\delta l=\sqrt{l_{0}^2+(u-v)^2}-l_0$, где $l_0$ длина не растянутой пружины. Проекция этой силы на ось $X$

$$F_{2,x}=-\alpha\delta l \cos \theta=-\alpha\delta l (u-v)/(l_0+\delta l)$$

Разложение в ряд Тейлора по $u$ и $v$ для

$$F_{2,x}=-\frac{u^3 \alpha }{2 l_0^2}+\frac{3 u^2 v \alpha }{2 l_0^2}-\frac{3 u v^2 \alpha }{2 l_0^2}+\frac{v^3 \alpha }{2 l_0^2}+O(u^5)\approx - \frac{\alpha}{2l_0^2}(u-v)^3$$

Соответствующая часть потенциальной энергии

$$U_5=\frac{ \alpha}{8l_0^2} (u-v)^4 $$

$\mathcal{L}=\frac{m}{2}(\dot u^2+\dot v^2)-k(u^2+v^2)-\frac{ \alpha}{8l_0^2} (u-v)^4$
Верно ли все, что привел?

[madschumacher]

Да, действительно, там 4я степень должна стоять. Если красная пружина ангармоническая и с известным выражением и параметрами $\alpha$ и $\beta$ , то действительно, зачем возиться с $\delta l$ -- просто используйте $u$ и $v$.
Но для Лагранжиана Вам нужно выражение для потенциальной энергии (силы не требуются). Потенциал легко получить из 2го закона . А с силой и с приписыванием растяжения уж больно все мудрено. Считайте, что у Вас все возможные эффекты от растяжения красной пружины спрятаны под ковер находятся в постоянных для красной пружины ($\alpha$ и $\beta$ ).

Ну и конечно же Ваш Лагранжиан имеет вид $\mathcal{L}=T+V$ , что весьма забавно

[TelmanStud]

madschumacher в сообщении #1123130 писал(а):

Ну и конечно же Ваш Лагранжиан имеет вид $\mathcal{L}=T+V$ , что весьма забавно

Конечно глупость написал, исправил.

Цитата:

А с силой и с приписыванием растяжения уж больно все мудрено.

Просто для красной если писать в терминах $x$ сила $F_2$ не равна $-\alpha x$.
Но больше меня смущает другое, почему при линейных силах все таки возникают нелинейные уравнения динамики.

[Munin]

TelmanStud в сообщении #1123140 писал(а):

Но больше меня смущает другое, почему при линейных силах

А поворачивающаяся пружина ненулевой длины - не очень-то линейная система. В отличие от.

[svv]

Геометрия нелинейна. Конкретно — расстояние как функция даже декартовых координат. Вы это и сами знаете.

[amon]

Если забыть о связях, и считать, что $\vec{u}$ и $\vec{v}$ - двумерные вектора, то все энергии квадратичны, а уравнения линейны, как и должно быть для шариков и пружинок. При наложении связей $u_y-u_y^0=0$ и $v_y-v_y^0=0$ линейность нарушается. (Поворачивающаяся пружина - вполне себе линейная система, поскольку ее энергия - квадрат ее длины).