Лагранжиан механической системы

[TelmanStud]

Да точно, красная пружина-нелинейный элемент.
За ответы и помощь спасибо!
Надеюсь подскажете и с последующим. Уравнения динамики могут записаны как

$$ \begin{array}{rcl} \ddot u+\alpha u+\beta (u-v)^3=0,& \\ \ddot v+\alpha v+\beta (v-u)^3=0,& \\ \end{array} $$

где уже $\alpha>0,\,\beta>0$ новые параметры.
Снизу я привел численное решение для разного набора начальных данных

Рис 1.

Рис 2.

Рис. 3.
Решение выглядит в виде амплитудной модуляции несущего высокочастотного колебания. Как можно было бы оценить частоту $\omega$ несущего колебания. И как можно было бы получить д.у. для огибающего колебания.

[amon]

Вычтите одно уравнение из другого. Получите одно уравнение на разность. У него есть один явный первый интеграл, а получившееся уравнение первого порядка легко исследовать стандартными методами.

-- 13.05.2016, 14:47 --

Более того, там, по-моему, все вообще в квадратурах решается.

[dsge]

amon в сообщении #1123351 писал(а):

Вычтите одно уравнение из другого. Получите одно уравнение на разность

Это получите уравнение Дюффинга, которое интегрируется в эллиптических функциях.

[TelmanStud]

Складывая и отнимая

$$ \begin{array}{rcl} &\ddot \phi+\alpha\phi=0, \\ &\ddot \psi+\alpha\psi+\beta \psi^3=0, \\ \end{array} $$

где $\phi=u+v$ и $\psi=u-v$.
Для $\phi=A\sin\,(\sqrt{\alpha}t+\theta_0)$, ну и допустим $\psi=B\, \text{sn}\,(f(t),m)$. А что дальше то?
И разве не найдется способа вытащить нужную частоту и д.у. не исследуя решения.

[dsge]

TelmanStud в сообщении #1123350 писал(а):

Как можно было бы оценить частоту $\omega$ несущего колебания.

Определяется частотой эллиптической функции.

[TelmanStud]

dsge в сообщении #1123364 писал(а):

Определяется частотой эллиптической функции.

Это понятно, в сей раз это пройдет, а как быть если у меня бесконечная лента таких тел, где уже нет точного решения?

[amon]

TelmanStud в сообщении #1123366 писал(а):

где уже нет точного решения?

Тогда изучать что-то вроде
А. П. КУЗНЕЦОВ С. П. КУЗНЕЦОВ Н. М. РЫСКИН НЕЛИНЕЙНЫЕ КОЛЕБАНИЯ

[madschumacher]

Да теорию возмущений заюзайте! Используя уравнение для гармонического осциллятора в качестве нулевого приближения. В 1м Ландавшице все описано. В качестве частоты будет определенная линейная комбинация гармонической частоты нулевого приближения.

[amon]

madschumacher в сообщении #1123445 писал(а):

Да теорию возмущений заюзайте!

Это если $\alpha\gg\beta$, а если наоборот?

[dsge]

amon в сообщении #1123447 писал(а):

Это если $\alpha\gg\beta$, а если наоборот?

Обычно возмущают интегрируемую систему, например, расписанную выше, в переменных угол-действие, и тем самым получают, в том числе, асимптотическое разложение для частот по малому параметру, т.е. то, что нужно ТС.

[TelmanStud]

Благодарю Всех еще раз!