Электричество, эквивалентные цепи

[iou]

Здравствуйте, уважаемые форумчане.
Есть цепь. Все сопротивления равны, источник с ЭДС $\mathcal{E}$, сопротивлением батареи пренебречь, нужно найти напряжение между точками $A$ и $B$.
Я хотел для начала найти сопротивление на участке $A-B$, но столкнулся с трудностями. Поскольку узлов в цепи довольно много, у меня в обозначениях начало появляться очень много токов, вплоть до $I_5$, дальше я продолжать не стал, поскольку понял, что это вряд ли закончится чем-то хорошим. Вероятно, нужно перерисовать цепь, но я не умею. Я поискал в интернете информацию по этой теме, но самостоятельно разобраться не получилось.
Собственно, вопрос: по каким принципам осуществляется эквивалентное преобразование цепи?
off:

(Оффтоп)

[amon]

Ваша схема весьма симметричная. Из соображений симметрии можно выделить узлы с одинаковым потенциалом. Такие узлы можно соединять или разрывать без ущерба для зачёта.

[iou]

amon в сообщении #1122917 писал(а):

Из соображений симметрии можно выделить узлы с одинаковым потенциалом. Такие узлы можно соединять или разрывать без ущерба для зачёта.

Если в плоскости рисунка проводить вертикальные прямые, то точки, лежащие на этих прямых (и принадлежащие цепи) будут иметь одинаковые потенциалы. В данном случае три точки, лежащие на вертикальной диагонали и соответственные середины.
А что значит "разрывать"?

[amon]

iou в сообщении #1122923 писал(а):

А что значит "разрывать"?

Можно соединить эти точки проволочкой или удалить элемент, соединяющий эти (и только эти!) точки.

[iou]

amon в сообщении #1122926 писал(а):

Можно соединить эти точки проволочкой или удалить элемент, соединяющий эти (и только эти!) точки.

Правильно получилось? Вы пишите, что проволоки должны соединять одни и те же резисторы, но я параллельно 4 резистора изобразил (я так сделал, поскольку там токи одинаковые будут течь).
Не совсем понятно, где окажутся точки $1, 2, 3..$. Насколько я понял, мы 2 точки превращаем в одну (где-то даже 3)? Тогда точка $B$ окажется перед последним параллельным соединением.
off

(Оффтоп)

[StaticZero]

amon в сообщении #1122926 писал(а):

Можно соединить эти точки проволочкой или удалить элемент, соединяющий эти (и только эти!) точки.

И обратно: из узла можно "вытягивать" идеальные проволочки, чтобы перемещать элементы схемы для её большей наглядности, и элементы "поворачивать".

Например, эти две схемы эквивалентны, конечно же, когда провода идеальные:

Эти схемы тривиальные.

Вам можно посоветовать применить такое преобразование и привести схему к такому виду:

(Спойлер)

Например, здесь для случая одинаковых резисторов мне уже всё очевидно. А вам?

Ответьте сначала на вопрос, эквивалентна ли эта схема вашей исходной и почему. А потом можете найти тут симметрию...

[ewert]

iou в сообщении #1122933 писал(а):

Правильно получилось?

Правильно.

[iou]

StaticZero в сообщении #1122935 писал(а):

Ответьте сначала на вопрос, эквивалентна ли эта схема вашей исходной и почему. А потом можете найти тут симметрию...

Скорее всего эквивалентна, поскольку выше Вы писали:

StaticZero в сообщении #1122935 писал(а):

Вам можно посоветовать применить такое преобразование и привести схему к такому виду:

У меня получилось вот такое преобразование:
off:

(Оффтоп)

Но я хотел получить из Вашей схемы ту, которая у меня получилась в конце.
А чтобы получить первоначальную, достаточно стянуть узел между десятым и одиннадцатым резисторами с узлом между двенадцатым и тринадцатым резисторами [возможно, правильнее писать резистором в данном случае]. Собственно, на моей картинке первый рисунок это первоначальная схема, если её немного "причесать".

[StaticZero]

iou в сообщении #1122985 писал(а):

стянуть узел

Да, конечно. Можно как стягивать участки проводов, так и "вытаскивать" их; это была лишняя иллюстрация и с этим вы, вроде, справились.

Теперь осталось заметить, что на вашей нижней схеме ток через проволочку, стягивающую две параллельные секции, не идёт, потому как её контакты имеют одинаковые потенциалы. Значит, схема окончательно разбивается в параллельное соединение, сопротивление которого легко посчитать.

Как я понял, задачу вы уже решили.

(Симметрия)

Соображения симметрии часто можно встретить в разных задачах на расчёт схем. В данном случае видно, что хотя бы на моей схеме присутствует симметрия относительно вертикального отражения. Так как все резисторы одинаковы, то любой из них можно заменить на любой, при этом конфигурация токов не поменяется.

Предположим, например, что ток $i_2$ через резистор 2 и ток $i_8$ через резистор 8 различны, и положим для определённости $i_2 > i_8$. Тогда будем обменивать резисторы пар 0-4, 1-7, 2-8, 3-9, 10-11, 12-13. В результате получим в точности ту же схему, но отражённую вертикально: "всё, что было вверху, оказалось внизу".

Пусть новые токи через резисторы 2 и 8 равны $j_2$ и $j_8$, соответственно. От произведённых замен токи в схеме на любом участке поменяться в принципе не могут, так как резисторы одинаковые. Но мы ведь положили, что ток именно через второй резистор больше, чем через восьмой: $i_2 > i_8$. Следовательно, то же самое должно выполняться и для новых токов: $j_2 > j_8$. Но так как токи в системе не изменились, то по восьмому резистору будет идти ток, который раньше шёл через второй и наоборот: $j_8 = i_2$, $j_2 = i_8$. Тогда будем иметь систему

$$ \begin{cases} i_2 > i_8, \\ j_2 > j_8, \\ i_2 = j_8, \\ i_8 = j_2, \end{cases} \qquad \text{или же} \qquad \begin{cases} i_2 > i_8, \\ i_2 < i_8, \end{cases} $$

которая является противоречивой, что и показывает ложность исходного предположения о неравенстве токов (можно так же расписать и для других резисторов, но это избыточно).

Из этого неизбежно следует, что $i_2 = i_8$, и вообще, $i_0 = i_4$, $i_1 = i_7$, $i_3 = i_9$, $i_{10} = i_{11}$ и $i_{12} = i_{13}$. Получается тогда, что на узлах (к центральным резисторам) уходят и приходят одинаковые токи. Проволочка в середине схемы как бы "общая", но можно считать, что ответвившиеся токи идут по ней независимо друг от друга и на "чужую" территорию не заступают. Но, значит, можно тогда схему разбить на отдельные контуры, что нам и требуется:

(Оффтоп)

Надеюсь, нигде не наврал, а если что, старшие товарищи поправят.

PS

(Оффтоп)

Ноутбук у вас случаем не Acer Aspire 5742? :-)

-- 12.05.2016, 04:14 --

iou в сообщении #1122985 писал(а):

возможно, правильнее писать резистором в данном случае

(Оффтоп)

Будем рассматривать уравнения (1) и (2). Множественное число, и у вас будут резисторы.

[iou]

StaticZero в сообщении #1122996 писал(а):

Как я понял, задачу вы уже решили.

Да. С задачей справился и в теме разобрался (всем спасибо за помощь!), про симметрию было очень полезно.

(Оффтоп)

StaticZero в сообщении #1122996 писал(а):

(Оффтоп)
Ноутбук у вас случаем не Acer Aspire 5742? :-)

Нет, не Asipire, но Acer :-)

[Munin]

iou в сообщении #1122916 писал(а):

Собственно, вопрос: по каким принципам осуществляется эквивалентное преобразование цепи?

Даже если все сопротивления разные, такая схема может быть упрощена несколькими преобразованиями "звезда - треугольник" туда-сюда.

-- 12.05.2016 23:00:02 --

P. S. Причём даже в этом случае только "туда"...

[Sicker]

iou в сообщении #1122916 писал(а):

Собственно, вопрос: по каким принципам осуществляется эквивалентное преобразование цепи?

Еще из соображений симметрии можно найти связь между потенциалом точки B и симметричным ему.

[ewert]

StaticZero в сообщении #1122935 писал(а):

Вам можно посоветовать применить такое преобразование и привести схему к такому виду:

Это лишний шаг. На стартовой картинке из симметрии относительно отражения по вертикали мгновенно, безо всяких токов следует, что можно соединить попарно верхний и нижний узлы слева и, кроме того, верхний и нижний справа. Этого уже достаточно для избавления ото всех мостов.

(Конечно, ровно по той же причине можно сцепить и центральные верхний и нижний, но это даже и вредно -- в том смысле, что заставляет немного напрячь пространственное воображение, счёт же практически не упрощает.)

[svv]

Я бы так преобразовал:

Ток через красную перемычку в силу симметрии равен нулю.
Теперь всё параллельно-последовательное.

[Sicker]

Я указал самое наиэлементарнейшее решение которое может вообще быть.