Проверка соотношения подмножеств

[timber]

(Оффтоп)

timber в сообщении #1122025 писал(а):

gefest_md в сообщении #1122000 писал(а):

timber в сообщении #1121802 писал(а):

Таким образом нам нужно показать, что:
$\begin{array}{l} (\bar{A} \cup (M \setminus B)) \Leftrightarrow\, (\bar{B} \cup (M \setminus A)) \end{array}$

Теперь посмотрите на эту запись. Озвучьте её.

Ну да, вроде бы дошло. Или нет
Вы хотите сказать, что тут нельзя говорить о равносильности правого и левого, а нужно ставить знак равенства. В этом случае запись будет верной.
$\begin{array}{l} (\bar{A} \cup (M \setminus B)) = (\bar{B} \cup (M \setminus A)) \end{array}$
То есть, когда у нас есть "отношения" между множествами, то используем между левой и правой частью знак равносильности. А когда есть множества с заданными операциями, то знак равенства. Есть "соотношения" с символом равносильности, а есть "тождества" с символом равенства. Не нужно путать одно с другим.
Так?

Проверил. Процитировал с {array}. Проблем что-то не вижу.

[Otta]

(Оффтоп)

За такие цитаты модераторы по шапке надают, за избыточное цитирование. Вы вот одинокую формулу выделите и кнопкой "Вставка" процитируйте, как это и делается.

[gefest_md]

timber в сообщении #1122025 писал(а):

$\begin{array}{l} (\bar{A} \cup (M \setminus B)) = (\bar{B} \cup (M \setminus A)) \end{array}$

Теперь допустим Вы доказали это равенство, используя характеристические функции. Как ещё сказать, что два множества равны?

И Вы также получили равносильность:

timber в сообщении #1121990 писал(а):

$(A \subset C_{M}B) \Leftrightarrow\dots\Leftrightarrow (\forall x) (x \in \bar A \cup (M \setminus B))$.

Т.е. $(A \subset C_{M}B)$ верно тогда и только тогда, когда $(\forall x) (x \in (\bar A \cup (M \setminus B)))$ верно.
И аналогично для $B \subset C_{M}A$.

[timber]

Otta в сообщении #1122023 писал(а):

Слушайте еще раз. Выражение "одно множество содержится в другом" - это некое утверждение. Высказывание. Оно может быть верно, а может и нет. Вы хотите заменить его на функцию, что ли? Функция верной не бывает. И неверной не бывает. Верным/неверным может быть, например, соотношение между функциями. Поэтому чуток придержите своих коней, сделайте шаг назад, и все-таки сформулируйте - и для себя в том числе, - что же означает, что одно множество содержится в другом на языке их характеристических функций.

Если допустим есть два множества $A$ и $M$ и задано отношение $A \subseteq M$, тогда характеристическая функция $\chi_{A}$ множества $A$ для элемента $x \in M$ показывает принадлежность/не принадлежность $x$ множеству $A$.

[Otta]

timber
Два множества. Две функции. Нарисуйте множества, что ли, расставьте значения функций (знаете какие?). Включение одного множества в другое равносильно выполнению некоторого неравенства. Какого?
Задачка в полстроки. ))

[timber]

Ну вопрос не в том, как решить задачу вообще.
У меня были сомнения и был частный вопрос -- как представить левую и правую части первоначального соотношения $(A \subset C_{M}B) \Leftrightarrow\, (B \subset C_{M}A)$ в формате характеристических функций?

[Otta]

Я об этом с Вами и разговариваю. Задачу вообще Вы уже решили.

[arseniiv]

timber в сообщении #1122048 писал(а):

У меня был частный вопрос -- как представить левую и правую части первоначального соотношения $(A \subset C_{M}B) \Leftrightarrow\, (B \subset C_{M}A)$ в формате характеристических функций?

Агаа!

Смотрите. Если $X,Y\subset Z$ и $\chi_X,\chi_Y\colon Z\to\mathbf 2$*, то $X\subset Y\Leftrightarrow\chi_X\leqslant\chi_Y$** и $\chi_X + \chi_{Z\setminus X} = 1$ (опять же поточечно).

* Есть целых два смысла обозначать $\{0,1\}$ как $\mathbf 2$ (или $2$, но некоторые боятся запутаться), так что в этом посте так.
** Пусть $f, g\colon A\to B$. Тогда $f\leqslant g$ обычно значит $\forall a\in A.\,f(a)\leqslant g(a)$.

[Otta]

... вот, а отвечает мне arseniiv почему-то

[arseniiv]

Последний узелок я оставил завязать timber. Ну два узелка.

[timber]

arseniiv в сообщении #1122051 писал(а):

timber в сообщении #1122048 писал(а):

У меня был частный вопрос -- как представить левую и правую части первоначального соотношения $(A \subset C_{M}B) \Leftrightarrow\, (B \subset C_{M}A)$ в формате характеристических функций?

Агаа!

Смотрите. Если $X,Y\subset Z$ и $\chi_X,\chi_Y\colon Z\to\mathbf 2$*, то $X\subset Y\Leftrightarrow\chi_X\leqslant\chi_Y$** и $\chi_X + \chi_{Z\setminus X} = 1$ (опять же поточечно).

* Есть целых два смысла обозначать $\{0,1\}$ как $\mathbf 2$ (или $2$, но некоторые боятся запутаться), так что в этом посте так.
** Пусть $f, g\colon A\to B$. Тогда $f\leqslant g$ обычно значит $\forall a\in A.\,f(a)\leqslant g(a)$.

Почему то меня Ваши ценные указания еще больше запутывают :)
Как-то все усложняется: появляются новые числа -- двойки, еще неравенства, видно уже скоро надо будет рассмотреть систему неравенств ...
Нет. Такой подход мне интуитивно не понятен.
Должно быть все или просто или по-другому. Не таким образом через характеристические (не понятно в данном случае для меня какие) функции.

-- 09.05.2016, 21:38 --

Возникает банальная мысль -- вернуться назад и рассмотреть цепочку равносильностей с добавлением множества $M$ и условия $A,B\subset M$, как в первый раз советовали.
Да ну их, эти характеристические функции!

[arseniiv]

timber в сообщении #1122333 писал(а):

видно уже скоро надо будет рассмотреть систему неравенств ...

Напишите её и она, возможно, упростится. Не надо пасовать, не зная будущего.

timber в сообщении #1122333 писал(а):

появляются новые числа -- двойки

Плюньте на двойку, это просто обозначение. Я подумал, в будущем оно могло бы вам пригодиться, но ладно.

timber в сообщении #1122333 писал(а):

Возникает банальная мысль -- вернуться назад и рассмотреть цепочку равносильностей с добавлением множества $M$ и условия $A,B\subset M$, как в первый раз советовали.

Или так, но в прошлый раз вы сочли манипуляции слишком сложными. Делайте любым способом, но сделайте что-нибудь.

[timber]

arseniiv в сообщении #1122340 писал(а):

timber в сообщении #1122333 писал(а):

видно уже скоро надо будет рассмотреть систему неравенств ...

Напишите её и она, возможно, упростится. Не надо пасовать, не зная будущего.

Так вот я и записал по аналогии, так:
1) левое отношение -- это $\chi_A \leqslant \chi_{M\setminus B}$ и $\chi_A + \chi_{M\setminus A} = 1$
2) правое отношение -- $\chi_B \leqslant \chi_{M\setminus A}$ и $\chi_B + \chi_{M\setminus B} = 1$

Только не думаю, что это проще, чем то, что я раньше посчитал сложным!

[Otta]

Ну Вы как-то уж совсем не смотрите и не анализируете, что у Вас есть.
$\chi_A \leqslant \chi_{M\setminus B}={}\ldots$
$\chi_B \leqslant \chi_{M\setminus A}={}\ldots$

[timber]

Вы правы. Я уже точно перестал соображать, что к чему. Машинально записываю, не понимая сути.
Может быть это связано, что долго копаюсь в затронутой теме или просто за день накопилась общая усталость.
Вроде бы тривиальные вещи.
Завтра на свежую голову продолжу ...

-- 09.05.2016, 22:48 --

Просто самому смешно :)
Решил за несколько месяцев самостоятельно изучить анализ по Зоричу и встрял по уши на первых задачах.
Уже неделю ковыряюсь, исписал полтетради всякими теоретико-множественными символами плюс еще характеристическими функциями.
Вспоминается эпизод из фильма Серьезный человек, где "повернутый" брат главного героя Ларри Гопника пишет постоянно что-то в тетради, какие то непонятные символы, которыми потом в итоге становится заполнена вся тетрадь.

Цитата:

Артур, чем ты занимаешься? Работаю над ментакулом.
Удалось найти квартиру? Неет.

В общем, такими темпами мой план "математического блицкрига" молниеносно рушится