Доказать, что образ единичного шара предкомпактен.

[Dauletfromast1996]

Доказать, что для любого ограниченного оператора $A:l_{2}\rightarrow l_{1}$ образ единичного шара предкомпактен. Тут, я думаю надо воспользоваться критерием предкомпактности в $l_{1}$ .Я доказал , что образ ограничен в $l_{1}$, как вторую часть доказать?

[Karan]

Тема перемещена из форума «Помогите решить / разобраться (М)» в форум «Карантин»
по следующим причинам:

- неправильно набраны формулы (краткие инструкции: «Краткий FAQ по тегу [math]» и видеоролик Как записывать формулы);

Исправьте все Ваши ошибки и сообщите об этом в теме Сообщение в карантине исправлено.
Настоятельно рекомендуется ознакомиться с темами Что такое карантин и что нужно делать, чтобы там оказаться и Правила научного форума.

[Karan]

Тема перемещена из форума «Карантин» в форум «Помогите решить / разобраться (М)»

[DeBill]

Dauletfromast1996
Ну, есть всякие теоремы типа: слабая компактность шара - иногда; непрерывность ограниченного оператора в слабой топологии... А есть еще замечательный факт, что в $l_1$ слабая сходимость влечет сходимость...

[Dauletfromast1996]

DeBill в сообщении #1121767 писал(а):

Dauletfromast1996
Ну, есть всякие теоремы типа: слабая компактность шара - иногда; непрерывность ограниченного оператора в слабой топологии... А есть еще замечательный факт, что в $l_1$ слабая сходимость влечет сходимость...

То есть, последовательности лежащие в образе сходятся слабо к чему-то?

[DeBill]

Dauletfromast1996 в сообщении #1121814 писал(а):

последовательности лежащие в образе сходятся слабо к чему-то?

Точнее: из них можно выделить слабо сходящиеся подпоследовательности.
Но - надо еще доказать ключевой замечательный факт...

[Dauletfromast1996]

DeBill в сообщении #1121828 писал(а):

Dauletfromast1996 в сообщении #1121814 писал(а):

последовательности лежащие в образе сходятся слабо к чему-то?

Точнее: из них можно выделить слабо сходящиеся подпоследовательности.
Но - надо еще доказать ключевой замечательный факт...

Хорошо. Из последовательностей, лежащих в образе, можно выделить слабо сходящиеся к чему-то подпоследовательности. Тогда они сходятся сильно(по теореме Шура). Пусть подпоследовательность $x_{k} \rightarrow x$. Отсюда следует, что $\exists N: \sum_{i=N}^{\infty}|x_{k_{i}}-x_{i}|<\varepsilon$. Но, как это нам поможет использовать критерий предкомпактности в $l_{1}$?

[DeBill]

Ну, мы получили счетную предкомпактность образа.... Это же хорошо!