Космический бумеранг

[drobyshev]

Со станции, находящейся на круговой орбите, толкают небольшой предмет так, что его начальная скорость относительно станции много меньше орбитальной скорости и лежит в плоскости орбиты. Под каким углом по отношению к направлению на тяготеющий центр должен быть ориентирован вектор начальной скорости, чтобы предмет возвратился в окрестности станции на ее втором (неполном) витке? А на третьем?

[amon]

Где-то у Арнольда эта или похожая задача, по-моему, есть.

[Pphantom]

В общем-то это предельно стандартная задача по небесной механике.

[drobyshev]

Не во всякой стандартной задаче по небесной механике ответ может быть рассчитан с помощью инженерного (непрограммируемого) калькулятора.

[drobyshev]

Ответ в задаче прост.

Пусть искомый угол $\theta$ отсчитывается так, что начальная скорость предмета относительно станции параллельна вектору $\pm (\vec{e}_x \sin\theta + \vec{e}_y \cos\theta)$, где единичный вектор $\vec{e}_x$ направлен вдоль орбитальной скорости станции, а единичный вектор $\vec{e}_y$ - к центру тяготения. Тогда

$$\theta=\arcctg(3\varkappa /2),$$

где $\varkappa$ находится как решение трансцендентного уравнения

$$\varkappa=\pi n +\arctg(3\varkappa /4), \qquad n=1,\, 2,\, \ldots$$

(например, методом итераций). При этом число витков станции к моменту возвращения предмета $\varkappa /\pi$, полных витков - $n$. Для $n=1,\, 2,\, \ldots$ получаем следующий ряд значений $\theta$ (в градусах): 8,58; 4,96 и т.д.