Бесконечный спуск для произвольных натуральных УФ

[ananova]

lasta в сообщении #1118000 писал(а):

Уважаемый ishhan! Бесконечный спуск или бесконечный подъем равнозначные методы только в том случае, если при подъеме определена тройка решения, значения чисел которых мы не можем превысить используя бесконечное количество шагов. Не вижу преимущества в бесконечном подъёме.

Я не согласен с Вашим взглядом на метод бесконечного подъема. Достаточно давно доказали, что количество возможных решений уравнения ВТФ не может быть бесконечным. Если Вы, условно, выбираете для индекса $i$ уравнение, имеющее решение, и из него по правилам бесконечного рекурсивного подъема следует, что все уравнения с индексами $i+1, i+2, \dots$ также имеют целочисленные решения, то ВТФ верна. Иначе, на доказательстве невозможности бесконечного числа решений можно было бы поставить крест. У меня есть подобное неопубликованное "доказательство", но это Ваша тема и есть смысл обсуждать Ваше доказательство.

[lasta]

ananova в сообщении #1119572 писал(а):

Достаточно давно доказали, что количество возможных решений уравнения ВТФ не может быть бесконечным.

Уважаемый ananova! Бесконечный подъем – интересен и достоин обсуждению в отдельной теме. О конечном числе возможных решений. Достаточно существования одной тройки решения из взаимно простых чисел, чтобы существовало бесконечное множество троек из не взаимно простых чисел. Это иногда ошибочно не учитывают строя бесконечный подъем.

[ananova]

Будем считать, что мы достигли консенсусса, что бесконечный подъем отличный метод, если порождет бесконечное число решений с взаимно простыми тройками ВТФ.

[binki]

lasta в сообщении #1119527 писал(а):

Пусть существуют две последовательности чисел. Одна определяется известной нам суммой

$$\frac{V_f}{a_1^p} +\frac{W_f}{a_1^p}=V_{nm}+m_n^p$$

и имеет неопределенный статус. Всегда существует другая последовательность, определяемая суммой

$$V_{nm}+W_{nm}$$

и имеющая статус разности степеней. Количество слагаемых в обеих последовательностях одинаковое. Возьмем две окружности и совместим их. Если хотя бы три точки окружностей совпадут, то окружности равны. То же самое будет и для наших последовательностей. Совпадут значения всех чисел разложения $V_{nm}.$ Значит, эти последовательности эквивалентны. А следовательно, претендующая последовательность $V_{nb}= V_{nm}+m_n^p $ имеет статус разности степеней. Что и требовалось доказать. На этом предполагаемое доказательство завершено.

Уважаемый lasta, - неожиданный прием доказательства статуса разности степеней, но из текста Вашего сообщения не понятно какое разложение $V_{nm}$ Вы имеете в виду?

[lasta]

binki в сообщении #1119771 писал(а):

неожиданный прием доказательства статуса разности степеней, но из текста Вашего сообщения не понятно какое разложение $V_{nm}$ Вы имеете в виду?

Уважаемый binki! Разложение через вторые разности степеней. Произвольная разность степеней(например $(7^3-4^3)$ равна сумме разностей соседних степеней.
$[5^3-4^3]=\text{ }\qquad \qquad[ 1]+[\text{ }6+12+18+24]$
$[6^3-5^3]=\text{ }\qquad[1+6]+[12+18+24+30]$
$[7^3-6^3]=[1+6+12]+[18+24+30+36]$
Если же сложить по вертикали группы чисел,заключенные в квадратные скобки, то получим сумму куба и вторых разностей кубов. То есть $7^3-4^3=3^3+36+54+72+90$. Следует обратить внимание, что куб образуется фигурным числом (пирамидой). (У меня была тема по представлению степеней в виде пирамид вторых разностей соседних степеней.

[krestovski]

Сумма вторых разностей степеней всегда чётное число. По этой причине и исходя из Вашего представления разности соседних степеней корректнее написать не

lasta в сообщении #1119999 писал(а):

Разложение через вторые разности степеней.

а "разложение через сумму первой разности кубов и сумму $m$ вторых разностей кубов".
Потому как ряд вторых разностей кубов начинается с числа $6$, а единица, которая везде присутствует у Вас в виде первого слагаемого, это первая разность кубов $1=1^3-0^3$. И только по этой причине Вы смогли прийти к выражению

lasta в сообщении #1119999 писал(а):

$7^3-4^3=3^3+36+54+72+90$.

Посчитали Вы всё правильно, а вот сформулировали неточно.
Ну в самом деле, как иначе представить нечётную разность $7^3-4^3$ в виде суммы чётных чисел, которыми являются вторые разности? - Позаимствовать одну нечётную первую разность... - вот Вы её и ввели в расчёт.
А точная формулировка нужна для того, чтобы Вы в последующих рассуждениях не обманывали себя и участников неверными логическими посылами.

[lasta]

krestovski в сообщении #1115817 писал(а):

И небольшое замечание: вторых разностей у соседних кубов не бывает.

krestovski в сообщении #1120039 писал(а):

А точная формулировка нужна для того, чтобы Вы в последующих рассуждениях не обманывали себя и участников неверными логическими посылами.

Уважаемый krestovski! Вы уже дважды заблуждались в этом. В моих определениях для соседний степеней фигурируют $V_0=1$ и $W_0=1$, которые можно ставить под знак суммы или выносить за его пределы, если понадобиться для чего то разбирать четную часть. Но что с Вас взять, еще недавно Вы утверждали, что вторых разностей для кубов не существует

[krestovski]

lasta в сообщении #1120054 писал(а):

Но что с Вас взять, еще недавно Вы утверждали, что вторых разностей для кубов не существует

Вы бы lasta повоздержались от подобных высказываний, а читали бы внимательнее то, что Вам пишут.
Я могу повторить: вторых разностей у соседних кубов не бывает.
Для Вас персонально показываю, как для школьника:
$4^3-3^3=37$ - это разность двух соседних кубов. Она одна. Второй разности у них нет и не может быть. Если же Вы намерены представить данную разность соседних кубов через вторые разности предстоящих им меньших кубов, то это так и надо называть.
И потом, не надо подменять мои выражения своими.
У меня понятно сказано: "вторых разностей у соседних кубов не бывает".
Вы перекручиваете это в следующее выражение: "Вы утверждали, что вторых разностей для кубов не существует".
Теперь замечание по поводу единицы. Вы пишете:

lasta в сообщении #1120054 писал(а):

В моих определениях для соседний степеней фигурируют $V_0=1$ и $W_0=1$, которые можно ставить под знак суммы или выносить за его пределы, если понадобиться для чего то разбирать четную часть

А на этом остановимся более детально.
Первую разность $V_0=1$ дополнительно вводить не требуется, поскольку Вы прекрасно и сами знаете, что сумма первых $m$ членов ряда первых разностей кубов всегда равна $m^3$. Смотрим: $1+7+19=27=3^3$. И единица, как первый член ряда первых разностей кубов присутствует лишь по той причине, что рассматривается расширенный натуральный ряд и Вы оперируете нулём: $1^3-0^3=1$ - это первая разность в первой паре из соседних кубов.
По этой причине ваше утверждение

lasta в сообщении #1120054 писал(а):

В моих определениях для соседний степеней фигурируют $V_0=1$ и $W_0=1$, которые можно ставить под знак суммы или выносить за его пределы, если понадобиться для чего то разбирать четную часть.

в отношении $V_0=1$ не верно или осознанно ложно. Эти две величины, $V_0=1$ и $W_0=1$, - не равнозначны. Не Вы ввели эту единицу $V_0=1$. В противном случае, без этой единицы в ряду вторых разностей кубов не было бы даже члена ряда $6=7-1$.
Теперь относительно второй единицы, которую Вы действительно ввели первым членом в ряд вторых разностей кубов сами. Это $W_0=1$.
Вот первые вычисленные кубы: $0, 1, 8, 27, 64, 125...$
Вот ряд первых разностей от этих кубов: $1, 7, 19, 37, 61...$
Вот ряд разностей членов предыдущего ряда: $6, 12, 18, 24...$
Это основа. Это начало, от которого Вы отталкиваетесь, строя свои рассуждения. Это базис и базисные количественные соотношения величин.
А теперь покажите Вашу единицу $W_0=1$, куда Вы её вводите, - и что происходит при этом с членами предыдущих рядов. Научитесь оглядываться назад и убеждаться, что после каждого Вашего нововведения базис остаётся неизменным.
Ведь тут как? - То, о чём я пишу, - подразумевает переменные в равенстве Ферма, которые охватывают всю область натуральных чисел. А Вы выбрали равенство, где участвуют 4 куба и основание одного из них - трином. Откуда уверенность в том, что такое соотношение оснований не даст ряд кубов, которые будут иметь третью, четвёртую разности кубов..., а не только первую и вторую? Ведь сам вид основания $(a+b-c)>0$ накладывает ограничения на $a^3, b^3, c^3$, а у Вас ничего нет кроме голословного заявления о том, что $a, b, c$ это любые натуральные числа. Это не любые, а выборочные натуральные числа и потому это не все натуральные числа.
Вы не согласны? – А вот покажите, что самостоятельные кубы, чьи основания образуют трином основания четвёртого куба, охватывают всю область натуральных чисел и сохраняют линейную зависимость на разных этапах Ваших формульных преобразований как в рядах, так и по линии образования разностей.
А вот потом будете гадать, что с меня взять….
Но я уже сейчас могу сказать, что Вы не сможете этого сделать. А ishhan Вам показал, почему это невозможно, но Вы просто отмахнулись от его замечания.
Ведь всё просто lasta. Как только Вы пишете формулы, я сразу вижу всю картину в числах. К тому же, не один вариант, а множество вариаций. В том числе и с применением общего множителя как к основаниям, так и к самим кубам. А Вы этого не можете сделать. Потому и считаете мои вопросы глупыми.
Оставайтесь при своём мнении. Участие в вашей теме – пустая трата времени.

[lasta]

Уважаемый участники форума! Стоит ли нам вводить в теме ликбез по элементарным основам математики? Для выражений, в которых после преобразований происходит потеря определенных зависимостей, существуют понятия начальные условия, начальные значения. Это позволяет нам определить исходные значения по результатам преобразований. Для этого и определено начальное значение второй разности степеней $W_0=1$.

[binki]

lasta в сообщении #1120374 писал(а):

Стоит ли нам вводить в теме ликбез по элементарным основам математики?

Уважаемый lasta! Тема и так уже на 7 листах, что затрудняет работу с материалом. Ваш оппонент krestovski вносит длинные сообщения с примитивными рассуждениями не принципиального характера. Это отвлекает и замусоривает тему. А нам надо понять идею доказательства. Трудно проводить анализ.
Обращаюсь к krestovski. Вы говорите не стоит тратить время. Вот и пожалейте себя и других.

[lasta]

В связи с доказательством статуса числа $V_{nb}$ как разности степеней, а также появлением дополнительного материала и исправлением ошибок, подготовлена окончательная редакция текста темы. Однако, чтобы не загромождать сообщение мелкими разъяснениями, необходимо, как наиболее важный вопрос, отдельно рассмотреть определение степеней, разностей степеней через вторые разности соседних степеней.
Произвольная разность соседних степеней (v_j) определяется суммой последовательности вторых разностей соседних степеней $w_i$ по формуле

$$v_j=1+(v_1-v_0)+ (v_2-v_1) +(v_3-v_2)+ …+ (v_j-v_{j-1})\qquad \e(1.W)$$

Или

$$v_j=1+w_1+ w_2+ w_3+ …+ w_j$$

для всех показателей начальное значение последовательности, фигурирующее как $w_0$ равно 1. Справедливость последовательности подтверждается простым раскрытием скобок выражения (1.W), (учесть , что $v_0=1$ ). Корректно также и определение последовательности как суммы вторых разностей соседних степеней. Для того, чтобы отличать разности, вторые разности соседних степеней от произвольных разностей, вторых разностей степеней, соседние будем обозначать строчными, а произвольные разности заглавными буквами. Рассмотрим пример. Пусть $c-b=3 $ Тогда

$$V_3=v_c+v_{c+1}+ v_{c+2} $$

$$\begin{matrix} v_c\quad=[\quad \quad \quad \quad 1]+[w_1+w_2+w_3+…+w_c\quad]\\ v_{c+1}=[\quad \quad 1+w_1 ]+[w_2+w_3+w_4+…+w_{c+1}]\\ v_{c+2}=[1+w_1+w_2 ] +[w_3+w_4+w_5+...+w_{c+2}] \end{matrix}\quad (2.W)$$

Количество слагаемых для каждой разности соседних степеней равно нижнему индексу плюс 1. Сумма всех слагаемых в первых квадратных скобках равна трем разностям соседних степеней, начиная с $v_0=1$, поэтому она равна $3^p$ . В этом не трудно убедиться подставив $w_1=(2^p-1)-(1^p-0^p);w_2=(3^p-2^p)-(2^p-1^p)$ в сумму.

$$1+[1+w_1]+[1+w_1+w_2]=3^p\quad\e (3.W)$$

Для ещё большей ясности приведем здесь уже рассмотренный пример разложения произвольной разности степеней в числах для кубов. Например, $(7^3-4^3)$ равна сумме разностей соседних степеней.
$[5^3-4^3]=\text{ }\qquad \qquad[ 1]+[\text{ }6+12+18+24]$
$[6^3-5^3]=\text{ }\qquad[1+6]+[12+18+24+30]$
$[7^3-6^3]=[1+6+12]+[18+24+30+36]$ Если же сложить по вертикали группы чисел,заключенные
в квадратные скобки, то получим сумму куба и вторых разностей кубов. То есть $7^3-4^3=3^3+36+54+72+90$.
Одновременно я приношу извинения уважаемому krestovski за свое не корректное отношение к нему. Каждый из нас может ошибаться и заблуждаться. Но если твое сообщение кто-то еще читает, то он заслуживает особого уважения. Надо отметить, что он внес большой вклад, для разъяснения отдельных моментов темы.

[ishhan]

lasta в сообщении #1111729 писал(а):

Правило 1. Изначально не делать предположения о существовании тройки решения уравнения Ферма, для создания каких либо формул по соотношениям между числами. Сначала формулы, а потом выводы.
Правило 2. Работать только с натуральными числами. Не допускать в формулах неопределенные числа типа,- может быть натуральным, либо иррациональным.

Уважаемый lasta!
С самого начала Вы делаете акцент на том, что работаете только с натуральными числами.
В разность степеней, которую вы используете, как один из "инструментов" могут входить числа и других видов и ничего от этого не изменится.
Все формулы и рассуждения одинаково хорошо работают и для рациональных, иррациональных итд.
Как по ходу доказательства проявляется свойство целых чисел чётко не определено, кроме того, сразу доказаны и первый и второй случай ВТФ
Основное Ваше утверждение о том, что при условии $a^3+b^3-c^3=0$ число $3(a+b)(c-a)(c-b)$ является степенью $3$ справедливо для любых чисел и даёт результат для целых чисел только для первого случая ВТФ3 так как обязывает одно из чисел $a,b,c$ быть кратно трём.
Ваш метод может работать, как вверх так и вниз, но вы выбираете вниз, так как Ферма сделал именно так для показателя $4$.
Вы тщательно продумали изложение этого курьёзного доказательства и многие в него поверили, но первое апреля уже давно прошло

[lasta]

ishhan в сообщении #1121295 писал(а):

Все формулы и рассуждения одинаково хорошо работают и для рациональных, иррациональных итд.
Как по ходу доказательства проявляется свойство целых чисел чётко не определено, кроме того, сразу доказаны и первый и второй случай ВТФ
Основное Ваше утверждение о том, что при условии $a^3+b^3-c^3=0$ число $3(a+b)(c-a)(c-b)$ является степенью $3$ справедливо для любых чисел

Уважаемый ishhan! Спасибо, что снова уделили внимание теме. Полностью согласен, но для биномиального разложения и сразу же исходя из предположения, что $E=0$. Мы же берем произвольные натуральные $a,b,c$ и, не обременяя их УФ, производим отдельно разложение степени и отдельно разности степеней с натуральными основаниями на первые и вторые разности степеней натуральных оснований, начиная с 1 с натуральным шагом возрастания. Пользуясь случаем, напишем,используя (2.W), общую формулу разложения произвольной разности степеней на сумму степени и сумму последовательностей вторых разностей соседних степеней. (исправим опечатку в (2.W), заменив индекс $c$ на $b$).

$$\begin{matrix} C^p-b^p=V_b=d^p+ \end{matrix} \begin{bmatrix} w_1+w_2+w_3+…+w_{b+0}\\ w_2+w_3+w_4+…+w_{b+1}\\ w_3+w_4+w_5+…+w_{b+2}\\ .........................................\\ w_{1+d}+w_{2+d}+.....+w_{b+d} \end{bmatrix}=d^p+W\quad (4.W)$$

Где $d=c-b$. Формула (4.W), путем произвольного разбиения на две части по вертикали суммы в квадратных скобках, обозначенной $W$, и объединения первой части со степенью $d^p$ дает различные варианты разложения произвольной разности степеней. В том числе и вариант $V_b=V_f+W_f$.
Получив подобное разложение для степени, делаем анализ в каких случаях возможно равенство степени разности степеней. При $E\ne 0$, выбранные числа продолжают существовать, но решения не существует. Если $E=0$, то наступает случай для бесконечного спуска от выбранных натуральных чисел.

[lasta]

ishhan в сообщении #1121295 писал(а):

кроме того, сразу доказаны и первый и второй случай ВТФ
Основное Ваше утверждение о том, что при условии $a^3+b^3-c^3=0$ число $3(a+b)(c-a)(c-b)$ является степенью $3$ справедливо для любых чисел и даёт результат для целых чисел только для первого случая ВТФ3 так как обязывает одно из чисел $a,b,c$ быть кратно трём.

Спасибо за этот вопрос о делимости $a^p$ на $p$. В окончательной редакции темы, если $E=0$, то степень $f^p$ рассматривается как произведение всего двух степеней, то есть в виде $f^p=m_1^pa_1^p$. Где $m_1^p=f^p/a_1^p$ и $a_1^p$ - делитель составной степени $a^p$, поэтому не имеет значения делится ли она на $p$ или нет.

[ishhan]

lasta в сообщении #1121301 писал(а):

Полностью согласен, но для биномиального разложения и сразу же исходя из предположения, что $E=0$. Мы же берем произвольные натуральные $a,b,c$ и, не обременяя их УФ

Уважаемый lasta!
Вы хотите сказать, что вывод о том, что $f=3(a+b)(c-a)(c-b)$ является степенью $3$ можно сделать не используя разложение Тринома и без условия $E=0$?

lasta в сообщении #1121436 писал(а):

В окончательной редакции темы, если $E=0$, то степень $f^p$ рассматривается как произведение всего двух степеней, то есть в виде $f^p=m_1^pa_1^p$. Где $m_1^p=f^p/a_1^p$ и $a_1^p$ - делитель составной степени $a^p$, поэтому не имеет значения делится ли она на $p$ или нет.

Подобное разъяснение, с одной стороны, является формальным ответом на мой вопрос, с другой стороны, в ответе по- прежнему отсутствует аргументация по поводу того, что $a_1$ целое число. Как и раньше, всё сказанное в теме в равной степени относится к любым числам, а вывод о бесконечном числе троек справедлив только для иррациональных чисел. На этом выводе строить противоречие нельзя -это логическая ошибка.