Угловая скорость твердого тела вокруг главных осей инерции

[_genius_]

Munin
Да-да оно всегда так кажется, мол сейчас сяду и сделаю за 5 минут. Но потом обязательно возникают какие-то непредвиденные трудности, а потом ещё и ещё и вот так неделя прошла, а задача не решена. Через неделю попробую вашу идею.

[Munin]

Вы в Maple чего не можете сделать? Найти векторное произведение? Или тензорное? Или обратную матрицу?

[madschumacher]

Ну так этого почти достаточно для применения условий Эккарта (Эккарта-Сейвица). Колебания от вращений вообще-то отделяются весьма плохо (в общем случае вообще не отделяются), и в случае когда колебания весьма малы, эти условия собственно реализуют минимизацию колебательно-вразщательного взаимодействия. Они заключаются в следующем:
1. очевидно, отделить ц.м. Очевидно, что $\vec{v}_{CM} = \frac{\sum_{i} m_i \vec{v}_i}{\sum_{i} m_i }$. Посчитать это не сложно
2. у Вас осталось разделить вращение и колебания, которые как раз не делятся. Поэтому берете референсную геометрию (логично, что это равновесная геометрия, т.е. отвечающая наименьшей энергии), ну или хотя бы положения атомов в начальный момент времени. Пусть эта геометрия задана векторами $\vec{r}_i^0$, причем $\vec{r}_{CM}^0=0$. Отделим и для рассматриваемой конфигурации траектории ц.м. для координат получив набор векторов $\{\vec{r}_i', \vec{v}_i'\}$. Тогда Вы ориентируете систему координат для этих векторов так, чтобы
$\sum_i m_i [\vec{r_i^0} \times \vec{r_i}^{EF}] = 0$, где $\vec{r_i}^{EF}$ -- положения атомов в финальной системе координат. Найти матрицу преобразования, переводящую $\{\vec{r}_i', \vec{v}_i'\}$ в $\{\vec{r}_i^{EF}, \vec{v}_i^{EF}\}$ можно например из системы линейных уравнений, получаемой из вышестоящего условия. Код с LAPACK-ом каким-нть на чем угодно пишется по-идее весьма просто.
Ну и соответственно, $[\vec{\omega} \times \vec{r}_i^{EF}] = \vec{v}_i - \vec{v}_{CM} - \vec{v}_i^{EF}$, а это -- простое линейное уравнение на компоненты $\vec{\omega}$.
А вообще численный пример с подробным разбором (как раз для молекулки воды) можно найти в Банкере-Йенсене (Симметрия молекул и спектроскопия).

[_genius_]

Munin
Заклевали вы меня

На вид очень даже неплохо, к сожалению проверить это никак нельзя. Но что мне нравится так это их явная компланарность, особенно хорошо видно если нарисовать их отдельно:

[Munin]

madschumacher
А с формулой $\omega_k=I^{-1}_{ik}M_i$ что не так? Понятно, что мы здесь берём не референсный $I_{ik},$ а текущий, ну хоть что-то. Впрочем, в статье может подразумеваться как раз референсный... :-(

[_genius_]

Munin
Кстати если все три $\omega\times r_i$ взвесить и сложить, полученный вектор будет на 6-7 порядков меньше чем сами $\omega\times r_i$. Это мне тоже очень-очень нравится.

[Dmitriy40]

_genius_ в сообщении #1119030 писал(а):

Может оно сначала летело в одну сторону, а потом развернулось.

Твёрдое тело не может развернуться (или изменить вращение) без воздействия внешних сил. Если части тела перемещаются относительно друг друга, то будут и изменения вращения и колебания траектории, но это опять же всё усреднится (если перемещения регулярны - вибрации). А обеспечить отсутствие внешних сил тривиально - я же предлагал считать симуляцию в будущее, вы сами выбираете какие силы обсчитывать.
Пожалуй я снимаю свою идею, она становится слишком сложной и требует дополнительную информацию.

[madschumacher]

Munin
Все с ней в порядке. Колебания и вращения не разделяются целиком для молекул, всегда есть не нулевое кол-вр взаимодействие. Можно по-разному их делить. Условия Экк.-просто минимизирует его. В главных осях же оно будет просто больше по величине.

[_genius_]

Munin
Вот кстати в статье тензор почему-то получается диагональный, а у меня нет. Придется немного модифицировать формулу, благо ПФ у меня считаются для каждого направления и атома отдельно.

-- Чт апр 28, 2016 20:40:45 --

В общем всех благодарю, когда реализую решение Munin будет видно, решаема была проблема в принципе или нет.

[Munin]

madschumacher в сообщении #1119069 писал(а):

Колебания и вращения не разделяются целиком для молекул, всегда есть не нулевое кол-вр взаимодействие.

А, в смысле, в динамике?

_genius_ в сообщении #1119070 писал(а):

Вот кстати в статье тензор почему-то получается диагональный, а у меня нет.

Ну поверните с.к., делов-то.

[_genius_]

Munin
Я не повернул, а сместил и точки с диагональным тензором (т.е. в которые надо перенести начало координат) оказались над и под центром масс:

Почему так? Я ничего не понимаю Интуитивно кажется что такая точка должна быть одна и она должна совпадать с ЦМ.
И не подскажите как именно надо повернуть чтобы $I = 0$? Опять составлять систему уравнений и решать или можно попроще?

[Munin]

_genius_ в сообщении #1119130 писал(а):

Я не повернул, а сместил

Вы бы за осмысленностью своих собственных действий следили...

-- 28.04.2016 22:42:55 --

_genius_ в сообщении #1119130 писал(а):

Интуитивно кажется что такая точка должна быть одна и она должна совпадать с ЦМ.

А неинтуитивно есть теорема Штейнера, которая говорит, что менять тензор можно, но нет смысла, всё равно его придётся вернуть к ц. м.

-- 28.04.2016 22:43:22 --

_genius_ в сообщении #1119130 писал(а):

И не подскажите как именно надо повернуть чтобы $I = 0$?

Как он может быть равен нулю?

[_genius_]

Munin
Пардон, не так выразился, имел в виду $I_{i,j} $ с индексами $i \neq j$ равно нулю.

-- Чт апр 28, 2016 22:46:55 --

Munin

Цитата:

есть теорема Штейнера

О вспомнил такую, да.

-- Чт апр 28, 2016 22:55:25 --

Так можно как-то попроще чем с системой уравнений или нет? Мне просто потом это ещё программно реализовывать, а пакета с решалкой нелинейных систем (особенно с синусами-косинусами) у меня нет, придется самому писать. Как я понимаю надо поочередно умножить вектора на три матрицы поворота, затем подставить получившееся в те элементы I, которые должны быть равны 0. В итоге получится 3 уравнения с тремя неизвестными (углами). Если можно только так, то уж лучше тогда забить на это дело и пользоваться тензором в общем виде.

-- Чт апр 28, 2016 23:25:02 --

К тому же решений у такого уравнения просто ТЬМА http://rghost.net/7fD5bSwvJ/image.png
И все правильные, т.е. при подстановке повернутых векторов в тензор он действительно становится диагональным.

[Munin]

_genius_ в сообщении #1119141 писал(а):

Пардон, не так выразился, имел в виду $I_{i,j} $ с индексами $i \neq j$ равно нулю.

Чтобы диагонализировать тензор, надо найти его собственные векторы, и привести к базису собственных осей. Maple это тоже умеет делать (как и LAPACK, разумеется).

_genius_ в сообщении #1119141 писал(а):

К тому же решений у такого уравнения просто ТЬМА http://rghost.net/7fD5bSwvJ.view

И все правильные, т.е. при подстановке повернутых векторов в тензор он действительно становится диагональным.

Ну да. Но достаточно взять нормированные. И останется три системы, совпадающие с точностью до перестановки между собой. Ну ещё с точностью до знаков.

[_genius_]

Munin
Ну вот есть у меня собственные значения и векторы, что дальше-то с ними делать? Как от них перейти к а) диагональному тензору б) соответствующей матрице поворота, чтобы потом повернуть скорости и координаты.