Почему у нормального распределения такая функция?

[Iam]

Отношение площади части $ n $-мерной сферы, лежащей в области $ x_1 \le r$, к общей площади сферы, при $n \to \infty, r/ \sqrt{n} = x $ является гауссовской функцией от $x $, т. е. $p_{S,n}(x) \to \mathcal F(x) $.

Отношение объема части $n $-мерного шара, лежащего в области $ x_1 \le r $, к общему объему шара, при $n \to \infty, r/ \sqrt{n} = x $ также является гауссовской функцией от $x $, т. е. $p_{V,n}(x) \to \mathcal F(x) $. При этом $p_{S,n}(x) = p_{V,n-2}(x) $.

Этим объясняется «одинаковая распределенность», «максимальность энтропии» и появление $\pi$.

В подобной постановке вопрос обсуждался например,
здесь со ссылкой на Wikipedia (Spherical cap), где, в свою очередь, есть ссылки в том числе на работы в Проблемах передачи информации на русском языке. Но там этот результат носит вспомогательный характер и находится в работе
«Теоретико-игровые задачи...» на с. 63 (иначе до него трудно добраться).

[semikolenov]

Я так и не понял математическое выведение $e^{-x^2}$. Интересует, почему именно $x^2$?
Приведённые по тексту обсуждения ссылки к книге Е.С.Вентцель ( 1958 г.выпуска) и интернет ссылок ничего не дало - я не смог там найти доказательную базу. Было бы интересно ознакомиться именно с доказательством, а не с обсуждением использования. Было сообщение, что это в области ТФКП. Если не тяжело - укажите более полный источник ( вне зависимости от сложности доказательства).

[Someone]

semikolenov в сообщении #1118624 писал(а):

Я так и не понял математическое выведение $e^{-x^2}$.

Ответ.

[semikolenov]

Сформулирую вопрос конкретно: как из Бинома Ньютона математически вывести функцию нормальной плотности распределения ?

[arseniiv]

semikolenov
Ну куча же причин была приведена. (Может, не в этой теме — вы бы её ещё через лет пять подняли, чтобы все забыть успели.)
1. Метод максимальной энтропии выделяет это распределение среди непрерывных распределений на $\mathbb R$ с данными $\mu,\sigma$. Тут квадрат вылезает из-за того, что задан максимум второй момент.
2. Распределение точки, декартовы координаты которой независимы и одинаково и нормально распределены, не меняется при повороте плоскости вокруг начала координат. Тут квадрат появляется из-за… а, функциональное уравнение решается просто, сами увидите.
3. Наконец, самое важное в применении нормального распределения — ЦПТ. Тут я честно не разбираюсь, откуда квадрат.
4. Может быть, даже ещё что-то.

semikolenov в сообщении #1118648 писал(а):

Сформулирую вопрос конкретно: как из Бинома Ньютона математически вывести функцию нормальной плотности распределения ?

Никак не вывести. Формулируйте ещё раз.

[semikolenov]

Спасибо, ваши причины проанализирую и отпишусь малость позже(если возникнет непонимание ).
Однако :

arseniiv в сообщении #1118651 писал(а):

Никак не вывести.

не удовлетворил меня в любопытстве.

[ewert]

arseniiv в сообщении #1118651 писал(а):

semikolenov в сообщении #1118648 писал(а):

Сформулирую вопрос конкретно: как из Бинома Ньютона математически вывести функцию нормальной плотности распределения ?

Никак не вывести.

Да вывести, вывести. Теорема Муавра ровно на эту тему -- на бином Ньютона. А была она именно первым вариантом ЦПТ, полученным, между прочим, чуть ли не за сотню лет до Гаусса -- даже несмотря на то, что, якобы,

Joker_vD в сообщении #419907 писал(а):

ЦПТ же были открыты почти на сто лет позже

Гаусса.

Поскольку ЦПТ -- это некое обобщённое название. И на "сто лет позже" (на самом деле на 50 с небольшим) оно было всего лишь официально оформлено, открывалось же очень постепенно и очень задолго до этого.

-- Ср апр 27, 2016 17:54:01 --

Да, насчёт любопытства:

semikolenov в сообщении #1118648 писал(а):

как из Бинома Ньютона математически вывести функцию нормальной плотности распределения ?

Очень просто. Муавр получал свою формулу как предельный вариант распределения вероятностей в схеме Бернулли, которое изначально описывается именно биномом Ньютона (точнее, слагаемыми этого бинома). А сам переход осуществлял с помощью формулы Стирлинга для факториалов ("Стирлинга-Муавра"; уж не в курсе, кто из них какой в точности вклад внёс в вывод этой формулы).

[semikolenov]

Любопытство удовлетворено полностью.
Всем спасибо.

[arseniiv]

Страсти какие. Я думал, мысль должна идти в другую сторону: → биномиальное распределение → ЦПТ для него → нормальное. Но ведь тут биномиальное ничем не лучше Пуассона или ещё какого.

[ewert]

arseniiv в сообщении #1118721 писал(а):

Я думал, мысль должна идти в другую сторону: → биномиальное распределение → ЦПТ для него → нормальное. Но ведь тут биномиальное ничем не лучше Пуассона или ещё какого.

Мысль никому ничего не обязана. К сожалению, Муавр работал задолго до Пуассона (и даже до Чебышёва). Вот в какую сторону хотелось идти его мысли -- в ту она и пришла.

[arseniiv]

ewert в сообщении #1118723 писал(а):

Мысль никому ничего не обязана.

Да не историческая, а предполагаемая у semikolenov по написанному вопросу. Против истории ничего не имею, да и всё равно она уже вся в прошлом.

[ewert]

arseniiv в сообщении #1118726 писал(а):

Да не историческая, а предполагаемая у semikolenov по написанному вопросу

А тут такое несчастье: случайно его мысль в точности и совпала с исторической. Хуже того: в большинстве нынешних учебников формулу Муавра ровно по Муавру так до сих пор и доказывают. По принципиальным соображениям -- она в курсе бывает нужна гораздо раньше, чем ЦПТ.

[arseniiv]

(Оффтоп)

ewert в сообщении #1118736 писал(а):

случайно его мысль в точности и совпала с исторической

Я бы не надеялся на такие успехи телепатии в народном хозяйстве. Мысль могла быть мало ли о чём, по паре слов не удостовериться.

[Lia]

Сообщения upgrade перемещены в Карантин.