Почему у нормального распределения такая функция?

[upgrade]

Симметричность получается из "симметричности" сложения: количество конкретных сумм случайных величин одинаково для разных сочетаний конкретных значений этих величин.

[upgrade]

Немного помоделировал в экселе.
Вид распределения для суммы случайных величин схож с видом распределения для умножения, если оба в логарифмической шкале, это понятно - умножение надо изображать в шкале "для умножения".
Вывод: нормальное распределение скорее всего отражает распределение частот сумм, которые получаются перестановками слагаемых этих сумм (которые в свою очередь - значения с.в.).
Для трех с.в., которые принимают значения $1,2,3$ с одинаковой вероятностью
Всего сумм $7$-мь: $3,4,5,6,7,8,9$
Сумма $3$ и $9$ получаются всего одной перестановкой значений с.в. ($3$ - $1,1,1$ а $9$ - $3,3,3$)
Сумма $4$ и $8$ по $3$ перестановки
$1,1,2$
$1,2,1$
$2,1,1$

$3,3,2$
$3,2,3$
$2,3,3$
$5$ и $7$ - по $6$
ну и $6$ - максимальное число перестановок.
Остается только это предположение доказать по формулам комбинаторики.

Как получается распределение частот сумм нескольких случайных величин, распределенных одинаково?
Есть восемнадцать с.в., распределеных равномерно, каждая может принять шесть значений от одного до шести с одинаковой вероятностью.
Построим ряд значений каждой с.в. из $50 000$ значений.
Суммы этих случайных величин получаются комбинациями их значений.
Если начать подсчитывать число сумм, то фактически мы посчитаем число комбинаций случайных величин, которые слагают эти суммы.
Понятно, что существует всего одна уникальная комбинация для получения суммы $18$ - это $18$ единиц и всего одна уникальная комбинация для суммы $108$ - это $18$ шестерок.
Теперь остается лишь посчитать, сколько уникальных комбинаций значений случайных величин составляет каждая их сумм между $18$ и $108$.
Или иначе - частоту появления сумм, которые формируются разными уникальными комбинациями нескольких случайных величин.
Для сумм случайных величин частоты такие будут симметричны из-за того, что операция "суммирование" симметрична здесь полностью и со всех сторон (я не пишу специально "коммутативность", т.к. имхо не только в этом дело, а еще и в шкалах) - частоты комбинаций значений и маленьких сумм (слева от матожидания) такие же как и больших с большими суммами справа от матожидания в системе представления, основанной на суммировании же (обычная шкала на линейках - это последовательное прибавление единицы к предыдущей метке) и подсчет сумм - также получается суммированием (если мы нашли три штуки суммы, то мы не умножаем их получая единицу, а складываем, получая три).
То есть в основе нормального распределения, которое получается путем суммирования случайных величин, лежит показатель распределения частот уникальных комбинаций случайных величин, суммы которых одинаковые, которые (частота) также определяются суммированием.

Для комбинаций произведений случайных величин должна быть такая же картинка, как для комбинации сложений случайных величин, но если применяется операция "умножение" и для подсчета и для представления.
Поскольку частота комбинаций значений с.в. с одинаковыми произведениями считается путем суммирования (когда мы находим три одинаковых произведения, которые получаются тремя разными комбинациями случайных величин мы получаем $3$ - то есть подсчитываем суммированием), и шкала представления - тоже получается суммированием, в декартовой системе координат мы не видим нормального распределения произведений.
Если шкалу произведений немного приблизить к операции "произведение" - представить ее логарифмической шкалой, мы увидим приближение к нормальному распределению.
Полностью нормальное распределение для произведений с.в. будет, видимо, получено, если и подсчет (получение частот произведений, которые получаются различными комбинациями значений с.в.) будет вестись с "помощью произведения" и шкала будет построена тоже с помощью этой операции. Как построить шкалу, основанную не на сложении, а на умножении я еще могу сообразить, но я не представляю как считать частоты комбинаций случайных величин, применяя операцию умножения, а не сложения.
Вот графики. По вертикали отложено количество, соответственно, произведений и сумм случайных величин, значение суммы или произведения - горизонтальная ось. То есть сумма $60$ встречается около $3000$ раз, произведение $10^{10}$ ($10000000000$) встречается примерно $200$ раз.
Точки для $50$ тыс. комбинаций $18$-ти случайных величин, которые принимают значения от одного до шести.
Функции для эксела

=ОКРУГЛ(5*СЛЧИС();0)+1)          //ячейки от A3 до R50003 
=LOG10(T3)                       //ячейка S3
=ПРОИЗВЕД(A3:R3)                 //ячейка Т3
=СЧЁТЕСЛИ($T$3:$T$50003;T3)     //ячейка U3

[Lia]

Тема перемещена из форума «Дискуссионные темы (М)» в форум «Карантин»
по следующим причинам:

Исправьте Ваши сообщения с тем, чтобы можно было понять, что Вы хотите сказать.

Исправьте все Ваши ошибки и сообщите об этом в теме Сообщение в карантине исправлено.
Настоятельно рекомендуется ознакомиться с темами Что такое карантин и что нужно делать, чтобы там оказаться и Правила научного форума.