Система с параметром

[stedent076]

Добрый день! Проверьте, пожалуйста, ход решения задачи:
При каких значениях параметра $a$ система имеет решения?
\begin{align*} x^2+(4a+5)x+3a^2+5a&<0\\ x^2+a^2&=25 \end{align*}

(1): квадратное уравнение относительно $x$:
$D=(4a+5)^2-4(3a^2+5a)=(2a+5)^2; \sqrt{D}=2a+5$
$x_(1,2)=\dfrac{-(4a+5)\pm(2a+5)}{2}=-a; -(3a+5)$
(2) очевидно,уравнение окружности с центром в $(0;0)$, $r=5$
Заметим, что $(1)<0\Leftrightarrow x\in(-a;-(3a+5))$. Поэтому, чтобы система имела решения, нужно выполнение следующего условия:
$[-a;-(3a+5)]\in (-5;5)$. Правильно ли это?Тогда, решая систему неравенств, относительно $a$, мы получим требуемые значения
параметра?

(Оффтоп)

Как привести систему к читаемому виду?

[StaticZero]

$$ \begin{cases} x^2 + (4a + 5)x + 3a^2 + 5a < 0, \\ x^2 + a^2 = 25 \end{cases} $$

Наведите курсор на картинку, чтобы прочесть исходный $\LaTeX$-код.

-- 25.04.2016, 21:40 --

Так лучше, наверное, не делать, так как это долгий путь, где кочек так много, что вы скорее разобьёте себе нос, постоянно спотыкаясь, прежде чем дойдёте до конца.

Попробуйте построить систему уравнений графически в координатах $(x, a)$ и посмотреть чисто по графику, где кто существует.

[stedent076]

StaticZero
ну там получается окружность и область между двумя прямыми

[svv]

Между какими? Можете разложить левую часть первого уравнения на множители?

[StaticZero]

Выпишите явно это условие в координатах $(x, a)$, Какие прямые, какая область.

Что представляет собой решение системы? Это значение $x_0$, удовлетворяющее нижнему уравнению и верхнему условию. Переведите теперь это предложение на графический язык $(x, a)$.

[stedent076]

svv
StaticZero
Да. Левая часть запишется так:
$(x+a)(x+3a+5)<0$
А графически – это больший угол между прямыми $x=-a$, и $x=-3a-5$. Потом выбираем точки окружности, которые принадлежат указанной области и получаем готовый ответ?

[svv]

1) Почему больший угол? Как это выяснить достоверно?
2) Входят ли сами прямые в множество точек $(x, a)$, удовлетворяющих неравенству?
3) Выбираем не точки окружности, а такие значения $a$, для которых существует хоть одна точка $(x, a)$, удовлетворяющая обоим условиям.

[stedent076]

svv
1)Взять произвольную $(x;a)$ точку из этой области ее координаты "подставить" в $(x+a)(x+3a+5)<0$
2)Нет, не входят, т.к неравенство строгое.
4)Да, это я неточно выразился.

[svv]

Тогда возьмите, например, $x=0, a=-1$.
Wolfram|Alpha: plot x+y=0; x+3y+5=0; x^2+y^2=25; x=0; y=-1

[stedent076]

[b[color=#3333FF]svv[/color[/b]
http://yotx.ru/#!1/3_h/ubWwf7Wwf7Rgzhf2 ... cXu/tb@wA=
так она же там не лежит

[svv]

Она лежит внутри меньшего угла, но удовлетворяет неравенству.

[stedent076]

svv
Ок, меньший угол. Спасибо за исправление)

[svv]

Рассмотрим общий случай кривой, заданной неявно: $F(x, y)=0$. Она отделяет друг от друга области $F>0$ и $F<0$. Чтобы не гадать, где какая область, можно найти вектор градиента $(\frac{\partial F}{\partial x}, \frac{\partial F}{\partial y})$. Он направлен в сторону возрастания $F$ (если только не равен нулю). В точках на кривой градиент перпендикулярен самой кривой, поэтому указывает на область $F>0$ «яснее некуда».

Для наших прямых $x+a=0$ и $x+3a+5=0$ градиенты равны соответственно $(1,1)$ и $(1,3)$ (в общем случае градиент зависит от точки).

Осторожно: на Вашем графике переменная $x$ соответствует переменной $a$ задачи, а переменная $y$ соответствует $x$ задачи. Чтобы не было путаницы, для проверки сказанного лучше воспользуйтесь моим графиком.

[stedent076]

svv
Спасибо большое за совет! Теперь буду им пользоваться).