До Туманности Андромеды за 26 лет

[Munin]

Ingus в сообщении #1118085 писал(а):

Какова скорость, с которой убывает расстояние между вспышками? $2c$ ? Какова скорость, с которой сокращается расстояние между двумя релятивистскими пучками в ускорителе в системе центра масс пучков? Простая сумма скоростей пучков?

Эти "скорости" имеют не больше физического смысла, чем "скорость наполнения бассейна". Они не являются скоростью движения чего бы то ни было. Поэтому не важно, как вы их рассчитываете. Можете хоть умножить на тысячу, если вам будет приятно посмотреть на большие числа.

[Ingus]

Munin в сообщении #1118130 писал(а):

Эти "скорости" имеют не больше физического смысла, чем "скорость наполнения бассейна". Они не являются скоростью движения чего бы то ни было. Поэтому не важно, как вы их рассчитываете. Можете хоть умножить на тысячу, если вам будет приятно посмотреть на большие числа.

Согласен. Зато время, за которое наполнится бассейн, имеет вполне физический, и даже утилитарный смысл.

(Оффтоп)

Время-деньги.

И "скорость" моего звездолета получиласть сверхсветовой потому, что он 2500000 св.лет по земным меркам отмахал за 26 лет собственного времени. По своему счетчику он пролетел чуть более 14 св.лет, и не смог обогнать свет. Все правильно?

[Munin]

Это время можно посчитать и другими способами.

[Ingus]

arseniiv в сообщении #1118111 писал(а):

Уже пора взять и посчитать самостоятельно.

Длина основного кольца ускорителя LHC составляет 26659 м, энергия покоя протона ($E_0$) равна 938,26 МэВ, энергия, до которой его разгоняют ($E$) равна 7 ТэВ. Скорость, которую он при этом имеет:

$\upsilon=c\sqrt{1-(\frac{E_0}{E})^2}=0.9999c$
Полный круг протон пройдет за 89 мкс. Значит встречу встречных пучков следует ждать через 44,5 мкс после старта на последний круг.
Другое дело кварки в протоне. По их часам пройдет гораздо меньше времени до столкновения, и пролетят они существенно меньшее расстояние, чем половина от 26659 м. Все правильно?

[arseniiv]

Ingus в сообщении #1118236 писал(а):

и пролетят они существенно меньшее расстояние, чем половина от 26659 м

Я вот честно не понимаю, какой смысл в таком расстоянии, как выше вводили. Собственное время вещь инвариантная и ясная. А про это пролетаемое расстояние, когда в системе отсчёта, связанной с чем-то, оно покоится по определению, спросите кого-нибудь другого.

[Ingus]

Munin в сообщении #1118225 писал(а):

Это время можно посчитать и другими способами.

Объем бассейна разделить на расход (точнее входящий поток) воды. А еще каким способом?

-- 26.04.2016, 00:02 --

arseniiv в сообщении #1118238 писал(а):

Собственное время вещь инвариантная и ясная.

Я под собственным временем понимал время по часам астронавтов в звездолете и кварков в протоне. А оказываается собсвенное время это инвариантный временноподобный интервал...

[Munin]

Ingus в сообщении #1118236 писал(а):

энергия покоя протона ($E_0$) равна 938,26 МэВ, энергия, до которой его разгоняют ($E$) равна 7 ТэВ. Скорость, которую он при этом имеет:

$\upsilon=c\sqrt{1-(\frac{E_0}{E})^2}=0.9999c$

Это наглая неправда. Скорость, которую он при этом имеет, равна примерно $0{,}999\,999\,991\,c$

Разница между четырьмя и восемью девятками огромна! Чтобы разогнать протон до $0{,}9999\,c,$ достаточно было бы придать ему энергию всего-навсего 70 ГэВ. Это в 100 раз меньше, чем его реально разгоняют.

Запомните, есть случаи, когда огрублять числа нельзя. (Или, по крайней мере, следует это делать намного аккуратнее.)

Ingus в сообщении #1118236 писал(а):

Другое дело кварки в протоне. По их часам пройдет гораздо меньше времени до столкновения, и пролетят они существенно меньшее расстояние

По их часам, они вообще ничего не пролетят. Каждое тело в собственной системе отсчёта неподвижно.

[arseniiv]

Ingus в сообщении #1118242 писал(а):

Я под собственным временем понимал время по часам астронавтов в звездолете и кварков в протоне. А оказываается собсвенное время это инвариантный временноподобный интервал...

Одно другому не мешает, и второе не есть определение собственного времени. Собственное время — это:
1. Натуральная параметризация $f(\tau)$ мировой линии. Обратная ей функция $f^{-1}(A)$ — показания часов с такой мировой линией в событии $A$. Параметризаций может быть много разных, смотря в каком событии поставить ноль, но все отличаются на константу, разумеется. Аналогия: натуральная параметризация кривой в обычном евклидовом пространстве.
2. Значение $|f^{-1}(A) - f^{-1}(B)|$ для отрезка мировой линии, ограниченного событиями $A, B$. Это сколько времени пройдёт по часам между $A$ и $B$. Аналогия: длина отрезка кривой.

P. S. Времениподобный. Так уж сложилось, особого смысла за этим не стоит, но стоит придерживаться.

P. P. S. Судя по количеству девяток, пришло время познакомиться с быстротой $\theta = \operatorname{Arth}(v/c)$.

[Munin]

Ingus в сообщении #1118242 писал(а):

А оказываается собсвенное время это инвариантный временноподобный интервал...

У Мольера (Мещанин во дворянстве) был один персонаж, который в весьма зрелом возрасте узнал, что всю жизнь, оказывается, разговаривал прозой.

[Ingus]

Munin в сообщении #1118254 писал(а):

Запомните, есть случаи, когда огрублять числа нельзя. (Или, по крайней мере, следует это делать намного аккуратнее.)

Золотые слова! Я уже не раз обжигался на округлении. Это же не курс валюты!

-- 26.04.2016, 11:52 --

Munin в сообщении #1118254 писал(а):

По их часам, они вообще ничего не пролетят. Каждое тело в собственной системе отсчёта неподвижно.

Понятно, что водитель неподвижен в собственной машине. Но машина едет. Компьютер показывает время, скорость, пройденный путь, среднюю скорость, расход топлива. Или это "не его часы"?

-- 26.04.2016, 11:54 --

arseniiv в сообщении #1118263 писал(а):

P. S. Времениподобный. Так уж сложилось, особого смысла за этим не стоит, но стоит придерживаться.

Да. Через и привычнее.

arseniiv в сообщении #1118263 писал(а):

P. P. S. Судя по количеству девяток, пришло время познакомиться с быстротой $\theta = \operatorname{Arth}(v/c)$.

Знакомлюсь.

-- 26.04.2016, 12:07 --

Munin в сообщении #1118267 писал(а):

У Мольера (Мещанин во дворянстве) был один персонаж, который в весьма зрелом возрасте узнал, что всю жизнь, оказывается, разговаривал прозой.

Приверженность Журдена к «наукам» тешит его самолюбие, дает возможность выйти за пределы мещанского быта и побыть среди знатных особ, к коим Вы, по моему мнению, несомненно относитесь.

[Ingus]

Моя цель - понять то, что невозможно представить. В детстве я хотел взглянуть на Вселенную со стороны. Всем нам рано или поздно придется это сделать... Но я о другом. Какая она, Вселенная, замкнутая? Конечная и безграничная? Какова сумма углов равностороннего треугольника размером с орбиту Земли? Чтобы понять, что Земля круглая не надо обходить ее кругом...

[DimaM]

Ingus в сообщении #1118332 писал(а):

Какова сумма углов равностороннего треугольника размером с орбиту Земли?

По данным WMAP - $180^\circ$. С Планка то же самое.

[arseniiv]

Ingus в сообщении #1118332 писал(а):

Моя цель - понять то, что невозможно представить.

Благородная цель, но путь к ней стоит организовывать эффективно. Человечество за некоторое число веков нашло вполне эффективные стратегии изучать вещи. Оказалось, нужна как минимум последовательность.

Ingus в сообщении #1118332 писал(а):

Какая она, Вселенная, замкнутая? Конечная и безграничная?

А если мы можем наблюдать только её кусок?

[Munin]

Ingus в сообщении #1118312 писал(а):

Понятно, что водитель неподвижен в собственной машине. Но машина едет. Компьютер показывает время, скорость, пройденный путь, среднюю скорость, расход топлива. Или это "не его часы"?

Да, это "не его часы".

В быту мы вообще редко сталкиваемся с приборами, измеряющими расстояние и время в своей системе отсчёта. Потому что нам обычно это и не нужно! Нам не нужно собственное время, когда мы приедем в Петербург - нам нужно местное, общепринятое время, которое подаётся сигналами точного времени. Мы готовы переводить свои часы по этим сигналам. Нам не нужно расстояние, которое мы измерим собственными линейками - нам нужно расстояние по дороге в километрах. Оно тоже общепринятое, и измеряется от Главпочтамта соответствующего города. (Со времён монголов и их ямской системы почтовых сообщений!) И так далее.

На практике, мы можем возить часы с собой: замедление времени так ничтожно мало, что мы не заметим ошибки ни в жисть.

Чтобы измерять скорость и пройденный путь, мы измеряем обороты колеса автомобиля. Здесь колесо выступает измерительным инструментом, которым мы измеряем длину дороги. Поскольку точки колеса неподвижны относительно точек дороги, то это - длина дороги в её собственной системе отсчёта. Не в нашей автомобильной! Чтобы измерить длину в нашей системе отсчёта, нам бы пригодился радиолокатор. Но такое обычно стоит только на самолётах. Впрочем, здесь тоже релятивистские различия были бы ничтожно малы.

Так что, ситуация, когда мы везём с собой все измерительные инструменты, и измеряем расстояния и время по отношению к собственной системе отсчёта, - больше выдуманная и абстрактная. Но! Это только "в быту". В науке, в сложной технике - такое встречается уже чаще. Например, астрономы сильно озабочены расстояниями, измеренными по отношению к Земле, к центру Земли, к Солнцу. А космические аппараты должны носить собственные часы. Впрочем, всё равно релятивистские поправки во всех этих случаях малы - хотя могут быть уже не пренебрежимо малы.

Все релятивистские эффекты в механике (именно в механике! в электромагнитных явлениях, например, не так) так или иначе связаны с множителем $\gamma=\dfrac{1}{\sqrt{1-v^2/c^2}}$ - "релятивистским гамма-фактором". Когда скорости малы по сравнению со скоростью света, этот множитель приблизительно равен $\gamma\approx 1+\dfrac{v^2}{2c^2}+\ldots$ Это значит, что релятивистские поправки к простым привычным законам ньютоновской механики - возникают как какие-то величины, умноженные на множитель $\Bigl(\dfrac{v}{c}\Bigr)^2,$ - это называется поправками второго порядка по степеням малого параметра $\dfrac{v}{c}$ - а малым этот параметр называется в том смысле, что $\dfrac{v}{c}\ll 1$ - малые параметры всегда должны быть выражены как безразмерные величины. Так вот, для скорости автомобиля этот множитель имеет порядок $10^{-15}$ - то есть, ваши часы и спидометр должны показывать 15 знаков точности, чтобы вы заметили релятивистские эффекты! Сейчас это может не поражать воображение, потому что калькуляторы часто выдают столько много знаков - но реально построить такой измерительный прибор невероятно сложно. Обычные бытовые приборы измеряют величины с точностью 2-3-4 знака. Даже 10-метровая рулетка, показывающая миллиметры, даёт только 4 знака. А теперь представьте, что надо увеличить точность ещё вдвое: ещё на 4 знака! И этого будет недостаточно. Надо будет ещё 4 знака, и ещё 4. (Для 10-метровой рулетки, это означает, что придётся измерять расстояния меньше размеров атома - с точностью до размеров атомного ядра!) ... Для скорости самолёта наш релятивистский множитель имеет порядок $10^{-12}$ - ненамного легче. И только для скорости Земли в космосе этот множитель становится величины $10^{-8}$ - всё равно очень мало для обычных приборов, но это может быть замечено очень тщательными опытами, и в конце 19 века Майкельсон достиг такой точности измерений, и поставил знаменитый опыт Майкельсона-Морли (первый опыт без Морли не достиг нужной точности, с Морли - достиг, и дальше были ещё опыты с другими ассистентами, в которых точность была ещё выше).

В общем, в автомобиле вы можете не беспокоиться о релятивистских эффектах, пока ваши часы не измеряют расстояния с точностью до пикосекунд (в 1000 раз меньше, чем один такт микропроцессора в компьютере), а спидометр - не считает километраж с точностью до ангстрем (диаметр атома).

----------------

Я не хотел вас упрекнуть, скорее, я хотел порадоваться за вас:

О, сколько нам открытий чудных
готовит просвещенья дух!..

-- 26.04.2016 12:52:22 --

Ingus в сообщении #1118332 писал(а):

Моя цель - понять то, что невозможно представить.

Для этого надо развивать мышление. То, что невозможно представить бытовыми образами - можно представить математически. Так что, сложные разделы высшей математики - позволяют представить то, что нельзя пощупать руками и увидеть глазами. Это был барьер и прорыв физики в начале 20 века: физика 19 века пыталась понять только то, что можно представить наглядно, а когда отказалась от этого - смогла понять теорию относительности и квантовую механику. С тех пор, похожий прорыв произошёл в химии - точнее, был принесён физикой в химию, под названием квантовой химии. Кроме того, в астрономии и космологии - и тоже благодаря физике. И в геологии. В других науках этого практически ещё не случилось, насколько я знаю.

Ingus в сообщении #1118332 писал(а):

Но я о другом. Какая она, Вселенная, замкнутая? Конечная и безграничная? Какова сумма углов равностороннего треугольника размером с орбиту Земли? Чтобы понять, что Земля круглая не надо обходить ее кругом...

Чтобы измерить форму Вселенной, нужен треугольник не размером с орбиту Земли, а размером с видимую часть Вселенной.

Реальные измерения дают величину, очень близкую к единице (по сравнению с евклидовой геометрией). Это значит, что Вселенная может быть замкнутой, может быть открытой, и может быть плоской. В любом случае, она слишком "ровная" (близкая к плоской), чтобы мы заметили отличия. В отличие от Земли, где можно было заметить, что Солнце в полдень в разных городах находится на разной высоте. Для Вселенной это измеряют, но не могут заметить отличий.

Эту величину измерять очень трудно. Сначала её измерили с точностью около 5 %. Для этого потребовалось запустить космический аппарат WMAP. Через десяток лет запустили следующий аппарат Planck, и благодаря ему, точность увеличилась в восемь раз: до 0,5 %. И это огромное достижение. Возможно, ещё через десяток лет можно будет продвинуться ещё на порядок - а может быть, только в два-три раза, а может быть, вообще никак.

[Ingus]

Уважаемый Munin
Большое спасибо за столь подробный ответ!