Простое подполе и его изоморфизмы

[student1138]

Здравствуйте.

Помогите, пожалуйста, понять доказательство теоремы. Красным подчеркнул место с которого перестаю понимать.

Вопросы такие:
1) Не понимаю почему ядром являются именно числа кратные какому-то $m$ (я так понимаю $m\mathbb{Z}$)
2) Как в таком случае понимать $m = 0$
3) Что это за дроби и почему они появились, вообще не понял.
4) Почему именно эти дроби образуют поле $P_0$?

В общем то что есть гомоморфизм понятно, а дальше абсолютно не понятно.

[demolishka]

Какие решения могут быть у уравнения $n \cdot 1 = 0$ относительно $n \in \mathbb{Z}$ в поле $P$?

[student1138]

demolishka в сообщении #1115733 писал(а):

Какие решения могут быть у уравнения $n \cdot 1 = 0$ относительно $n \in \mathbb{Z}$ в поле $P$?

Кажется уловил мысль.
Решением могут быть числа $0, 1, 2, 3, ...$, в зависимости от поля.

Если решение отлично от нуля, то мы имеем дело с полем, изоморфным $Z_n$. Это вторая часть теоремы, я пока до нее не дошел.

Если же решение 0, то тогда у меня остаются вопросы 3 и 4.

[demolishka]

Понятие характеристики поля Вам знакомо?

[student1138]

demolishka в сообщении #1115753 писал(а):

Понятие характеристики поля Вам знакомо?

Эта глава учебника как-раз про характеристику но само определение еще не дали. Начали как-раз с этой теоремы. А определение будет опираться на теорему.

Я откорректировал свое предыдущее сообщение.

[Slav-27]

Что такое характеристика поля? Характеристика поля -- это такое натуральное число $n$, что в вашем поле $1+1+...+1=0$ ($n$ единичек), а для меньшего числа единичек получается всегда не $0$; если же для любого количества единичек получается не ноль, то, по определению, считают, что характеристика $0$.

student1138 в сообщении #1115723 писал(а):

1) Не понимаю почему ядром являются именно числа кратные какому-то $m$ (я так понимаю $m\mathbb{Z}$)

Какое будет ядро, если характеристика есть $m\ne0$? А если $0$?

student1138 в сообщении #1115723 писал(а):

2) Как в таком случае понимать $m = 0$

Что $\operatorname{Ker}f=\{0\}.$

student1138 в сообщении #1115723 писал(а):

3) Что это за дроби и почему они появились, вообще не понял.

Это частные вида $\dfrac{1+...+1}{1+...+1}$, где сверху $s$ единичек, а снизу $t$. У вас же поле? Значит, раз там есть числитель и знаменатель (и знаменатель не $0$), то есть и такие дроби (т. е. частные).

student1138 в сообщении #1115723 писал(а):

4) Почему именно эти дроби образуют поле $P_0$?

Почему они образуют поле? Почему они все лежат в $P_0$? Почему они не могут образовывать собственного подполя $P_0$?

[demolishka]

student1138 в сообщении #1115745 писал(а):

Если решение отлично от нуля, то мы имеем дело с полем, изоморфным $Z_n$.

Это не верно. Поле ненулевой характеристики не обязано быть конечным.

student1138 в сообщении #1115723 писал(а):

3) Что это за дроби и почему они появились, вообще не понял.
4) Почему именно эти дроби образуют поле $P_0$?

Эта конструкция называется полем частных. Она является обобщением процедуры построения рациональных чисел (поля) из целых чисел (области целостности).

[student1138]

Slav-27

Slav-27 в сообщении #1115761 писал(а):

Какое будет ядро, если характеристика есть $m\ne0$? А если $0$?

Понял.

Slav-27 в сообщении #1115761 писал(а):

Почему они образуют поле?

Потому что они замкнуты относительно операций сложения и умножения.

Slav-27 в сообщении #1115761 писал(а):

Почему они все лежат в $P_0$?

Потому что $P_0$ содержит $1$ а значит всевозможные ее сочетания тоже должно содержать.

Slav-27 в сообщении #1115761 писал(а):

Почему они не могут образовывать собственного подполя $P_0$?

Вот здесь не могу сообразить. Почему в $P_0$ не может быть других элементов кроме подобных дробей?

[Slav-27]

А что вы знаете о подполях простых полей?

[student1138]

Slav-27 в сообщении #1116052 писал(а):

А что вы знаете о подполях простых полей?

Так мы же еще не доказали что они образуют простое поле, мы как-раз это и доказываем

[Slav-27]

Нет конечно! Мы ещё в первом абзаце это доказали.

[student1138]

Slav-27 в сообщении #1116069 писал(а):

Нет конечно! Мы ещё в первом абзаце это доказали.

Я не понимаю. В каком абзаце?

[Slav-27]

А знаете, на самом деле не доказали. Там чууть-чуть корявенько написано, самую толику.

$P_0$ -- это вообще что за зверь такой, откуда взялся? Тут 2 варианта: либо это наименьшее по включению подполе (и тогда оно, очевидно, простое), либо это и есть то самое подполе, которое мы строим.

-- 17.04.2016, 19:38 --

(И тогда оно по построению простое.)

[student1138]

Slav-27 в сообщении #1116077 писал(а):

А знаете, на самом деле не доказали. Там чууть-чуть корявенько написано, самую толику.

$P_0$ -- это вообще что за зверь такой, откуда взялся? Тут 2 варианта: либо это наименьшее по включению подполе (и тогда оно, очевидно, простое), либо это и есть то самое подполе, которое мы строим.

-- 17.04.2016, 19:38 --

(И тогда оно по построению простое.)

Начал писать что опять не понимаю и в этот момент - дошло:

Мы берем дроби и обнаруживаем что они образуют подполе. И кроме того обнаруживаем что они все входят в $P_0$. А поскольку $P_0$ не содержит собственных подполей, значит поле, образованное дробями и есть $P_0$.

[Slav-27]

Ну да, как-то так и есть.

Только надо понимать, начиная с какого места появляется $P_0.$ Ещё раз пишу:

Либо символом $P_0$ называется простое подполе: тогда из его простоты следует, что поле тех дробей с ним совпадает, но в таком случае надо ещё до рассуждений о дробях показать, что простое подполе существует (впрочем это делается примерно 4 словами) --

Либо символом $P_0$ называется поле, образованное этими дробями, и тогда ясно, что оно простое.