Задача из сборника ЕГЭ-задач

[zhekas]

JulianaFostiychuk в сообщении #438481 писал(а):

neo66 в сообщении #438434 писал(а):

JulianaFostiychuk в сообщении #438382 писал(а):

Найти многочлен, корнем которого является не знаю как формулу написать, в общем продиктую так. сумма корней шестой степени из 5 - 2 корня из 6 и 5 + 2 корня из 6.

Так?

не так( корень шестой степени
сейчас попробую.

$\sqrt[6]{5-2\sqrt[2]{6}}$ + $\sqrt[6]{5+2\sqrt[2]{6}}$

воот)

Во-первых под корнями стоят полные квадраты

$$5-2\sqrt{6}=(\sqrt{3}-\sqrt{2})^2$$

Итого получаем

$$x=\sqrt[3]{\sqrt{3}-\sqrt{2}}+\sqrt[3]{\sqrt{3}+\sqrt{2}}$$

возводим всё в третью степень

$$(a+b)^3=a^3+b^3+3ab(a+b)$$

произведение корней даёт 1

$$x^3=(\sqrt{3}-\sqrt{2})+(\sqrt{3}+\sqrt{2})+3\left(\sqrt[3]{\sqrt{3}-\sqrt{2}}+\sqrt[3]{\sqrt{3}+\sqrt{2}}\right)$$

$$x^3=2\sqrt{3}+3x$$

получаем уравнение

$$x^3-3x-2\sqrt{3}=0$$

чтобы избавиться от радикала умножаемна сопряжённоеуравнение

$$(x^3-3x-2\sqrt{3})(x^3-3x+2\sqrt{3})=0$$

$$(x^3-3x)^2-12=0$$

дальше можете раскрыть скобки и получите искомое

[nnosipov]

А найдётся ли уравнение (с целыми коэффициентами) меньшей степени?

[neo66]

Нет.

[nnosipov]

neo66 в сообщении #438506 писал(а):

Нет.

А как это школьникам объяснить? Без критерия Эйзенштейна?

[alex1910]

nnosipov в сообщении #438528 писал(а):

neo66 в сообщении #438506 писал(а):

Нет.

А как это школьникам объяснить? Без критерия Эйзенштейна?

Если уж говорить со школьниками про неприводимость, почему бы не доказать критерий Эйзенштейна и лемму Гаусса?

[nnosipov]

Я бы рассказал ещё и про алгоритм факторизации Кронекера, он вполне элементарный.

[alex1910]

nnosipov в сообщении #438635 писал(а):

Я бы рассказал ещё и про алгоритм факторизации Кронекера, он вполне элементарный.

Элементарный, но очень медленный - даже при наличии компьютера.
Все равно, что целые числа раскладывать на множители методом пробного деления.

[VAL]

spaits в сообщении #436415 писал(а):

nnosipov в сообщении #436406 писал(а):

Поэтому задачи, приводящие к такому ответу в случае уравнения, указанного spaits, не могут быть в ЕГЭ.

Ученик, решавший ту задачу на ЕГЭ, после экзамена написал уравнение по памяти, возможно, что-то перепутал. Единственное объяснение.
Но в 2010 году такая задача была.

Я каждый год проверяю задания части C ЕГЭ. А затем еще апелляции принимаю. Если бы такая гадость в прошлом году была, полагаю я бы знал.
По крайней мере, когда несколько лет назад в задания ЕГЭ вкралась нерешаемая задачка по стереометрии, информация об этом распространялась заранее и централизованно, независимо от того, попались данному экзаменатору варианты с данной задачкой.

В любом случае, не вижу необходимости привлечения формулы Кардано, для решения задачи обсуждаемого вида. Нам ведь нужны не корни, а количество корней. Причем вещественных. Поэтому вполне сгодится такой подход:
перенести p в левую часть и рассмотреть ее как функцию;
найти значения p, при которых функция либо не будет иметь экстремумов, либо значения функции в точках экстремумов будут одного знака.

Правда, в обсуждаемом задании выкладки получаются слишком громоздкими. Поэтому склоняюсь к мысли, что условие искажено.

[nnosipov]

VAL в сообщении #438691 писал(а):

spaits в сообщении #436415 писал(а):

nnosipov в сообщении #436406 писал(а):

Поэтому задачи, приводящие к такому ответу в случае уравнения, указанного spaits, не могут быть в ЕГЭ.

Ученик, решавший ту задачу на ЕГЭ, после экзамена написал уравнение по памяти, возможно, что-то перепутал. Единственное объяснение.
Но в 2010 году такая задача была.

Я каждый год проверяю задания части C ЕГЭ. А затем еще апелляции принимаю. Если бы такая гадость в прошлом году была, полагаю я бы знал.
По крайней мере, когда несколько лет назад в задания ЕГЭ вкралась нерешаемая задачка по стереометрии, информация об этом распространялась заранее и централизованно, независимо от того, попались данному экзаменатору варианты с данной задачкой.

В любом случае, не вижу необходимости привлечения формулы Кардано, для решения задачи обсуждаемого вида. Нам ведь нужны не корни, а количество корней. Причем вещественных. Поэтому вполне сгодится такой подход:
перенести p в левую часть и рассмотреть ее как функцию;
найти значения p, при которых функция либо не будет иметь экстремумов, либо значения функции в точках экстремумов будут одного знака.

Правда, в обсуждаемом задании выкладки получаются слишком громоздкими. Поэтому склоняюсь к мысли, что условие искажено.

Разумеется, я это и имел в виду. Проблема в том, чтобы производная имела хорошие корни (не более чем квадратичные иррациональности), иначе без формулы Кардано не обойтись (как Вы запишите ответ?). Пример такого задания, которое все-таки можно решить, я привел выше.

[JulianaFostiychuk]

Цитата:

Во-первых под корнями стоят полные квадраты

$$5-2\sqrt{6}=(\sqrt{3}-\sqrt{2})^2$$

Итого получаем

$$x=\sqrt[3]{\sqrt{3}-\sqrt{2}}+\sqrt[3]{\sqrt{3}+\sqrt{2}}$$

возводим всё в третью степень

$$(a+b)^3=a^3+b^3+3ab(a+b)$$

произведение корней даёт 1

$$x^3=(\sqrt{3}-\sqrt{2})+(\sqrt{3}+\sqrt{2})+3\left(\sqrt[3]{\sqrt{3}-\sqrt{2}}+\sqrt[3]{\sqrt{3}+\sqrt{2}}\right)$$

$$x^3=2\sqrt{3}+3x$$

получаем уравнение

$$x^3-3x-2\sqrt{3}=0$$

чтобы избавиться от радикала умножаемна сопряжённоеуравнение

$$(x^3-3x-2\sqrt{3})(x^3-3x+2\sqrt{3})=0$$

$$(x^3-3x)^2-12=0$$

дальше можете раскрыть скобки и получите искомое

спасибо огромное. я на первом шаге увидела формулу, но дальше - ступор)
спасибо)

[zhekas]

JulianaFostiychuk в сообщении #438929 писал(а):

Цитата:

Во-первых под корнями стоят полные квадраты

$$5-2\sqrt{6}=(\sqrt{3}-\sqrt{2})^2$$

Итого получаем

$$x=\sqrt[3]{\sqrt{3}-\sqrt{2}}+\sqrt[3]{\sqrt{3}+\sqrt{2}}$$

возводим всё в третью степень

$$(a+b)^3=a^3+b^3+3ab(a+b)$$

произведение корней даёт 1

$$x^3=(\sqrt{3}-\sqrt{2})+(\sqrt{3}+\sqrt{2})+3\left(\sqrt[3]{\sqrt{3}-\sqrt{2}}+\sqrt[3]{\sqrt{3}+\sqrt{2}}\right)$$

$$x^3=2\sqrt{3}+3x$$

получаем уравнение

$$x^3-3x-2\sqrt{3}=0$$

чтобы избавиться от радикала умножаемна сопряжённоеуравнение

$$(x^3-3x-2\sqrt{3})(x^3-3x+2\sqrt{3})=0$$

$$(x^3-3x)^2-12=0$$

дальше можете раскрыть скобки и получите искомое

спасибо огромное. я на первом шаге увидела формулу, но дальше - ступор)
спасибо)

Фактически это формула Кардано в чистом виде

[salnsg]

spaits в сообщении #436112 писал(а):

Задача ЕГЭ прошлого года.

Найдите все значения $p$, при которых уравнение $(2p-3)x^3-(6-p)x^2+2px=p$ имеет ровно один корень.

Господа, задача сводится элементарными преобразованиями к равенству вида p=f(x) ну а дальше строится график функции y=f(x) стандартными школьными методами исследования функции (производные школьники брать умеют) и по графику показывается, где прямая y=p пересекает график функции y=f(x) ровно в 1 (одной) точке.

Не буду здесь приводить подробности, надеюсь написанного выше достаточно для их восстановления при необходимости.

Вот и вся премудрость, никаких формул Кардано! Да и не дают формул Кардано в школе :)))

[TOTAL]

salnsg в сообщении #1114367 писал(а):

и по графику показывается, где прямая y=p пересекает график функции y=f(x) ровно в 1 (одной) точке.

Как по графику показать, что ровно в 1 точке? (Не заметил, что производную брать умеют. Вопрос снимается.)

[gris]

Там получается отношение двух кубических многочленов. Ну максимум и горизонтальную асимптоту посчитать легко, а вот минимум тяжеловато будет. Я думаю, в задаче речь идёт о неотрицательных значениях параметра. Тогда ответ будет состоять из двух пригожих интервалов.

Ой, теме-то уж пять лет. Да и метод предлагался участником VAL. Ну ладно, я типа про асимптоту добавил и предложение внёс

[deep blue]

Тоже добавлю новую идею.

JulianaFostiychuk в [url=http://dxdy.ru/post438382.html#p438382сообщении #438382[/url] писал(а):

Найти многочлен, корнем которого является
$\sqrt[6]{5-2\sqrt[2]{6}}$ + $\sqrt[6]{5+2\sqrt[2]{6}}$

Обозначим $q_1=\sqrt[6]{5-2\sqrt[2]{6}} + \sqrt[6]{5+2\sqrt[2]{6}}$ и заметим, что $q_2=\sqrt[6]{5-2\sqrt[2]{6}} \sqrt[6]{5+2\sqrt[2]{6}}=1$ и $s_6=\sqrt[6]{5-2\sqrt[2]{6}}^6 + \sqrt[6]{5+2\sqrt[2]{6}}^6=10$. Теперь воспользовавшись представлением $s_6$ через основные симметрические многочлены сразу получаем уравнение которому должен удовлетворять $q_1$.
Что касается минимальной степени такого уравнения(это 6-я степень), то легко доказать что многочлен не разложим в $\mathbb{Z}$ однако из этого не следует, что нет многочлена меньшей степени с тем же корнем или я что-то путаю?