2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




Начать новую тему Ответить на тему На страницу 1, 2, 3  След.
 
 Задача из сборника ЕГЭ-задач
Сообщение17.04.2011, 20:25 
Заслуженный участник


20/12/10
8858
Вот, нашёл в одной книжке для школьников задачку: решить в натуральных числах уравнение $n! + 3n = k^2$. По-моему, опечатка в условии. Или всё-таки есть разумное решение? (Да и неразумного придумать не получается.)

 Профиль  
                  
 
 Re: Задача из сборника ЕГЭ-задач
Сообщение17.04.2011, 20:42 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


30/01/09
6591
Вот одно из решений - $n=1, k=2$.

-- Вс апр 17, 2011 21:43:54 --

Вот второе решение - $n=4, k=6$.

 Профиль  
                  
 
 Re: Задача из сборника ЕГЭ-задач
Сообщение17.04.2011, 20:47 
Заслуженный участник


20/12/10
8858
мат-ламер в сообщении #436007 писал(а):
Вот одно из решений - $n=1, k=2$.

-- Вс апр 17, 2011 21:43:54 --

Вот второе решение - $n=4, k=6$.


Мне бы доказательство, что других нет (ответ к этой задаче в сборнике дан, а вот решение ...).

 Профиль  
                  
 
 Re: Задача из сборника ЕГЭ-задач
Сообщение17.04.2011, 20:58 
Заблокирован
Аватара пользователя


17/06/09

2213
По-моему, так: $n!\div 3n$, поэтому $\dfrac{(n-1)!}{3}+1=\dfrac{k^2}{3n}$. А это почти проблема Брокарда.

 Профиль  
                  
 
 Re: Задача из сборника ЕГЭ-задач
Сообщение17.04.2011, 21:22 
Заслуженный участник


20/12/10
8858
age в сообщении #436030 писал(а):
По-моему, так: $n!\div 3n$, поэтому $\dfrac{(n-1)!}{3}+1=\dfrac{k^2}{3n}$. А это почти проблема Брокарда.


Вот и я на это намекаю. (Здесь, конечно, нужно поаккуратнее сводить, но приходишь именно в тупик типа проблемы Брокара).

 Профиль  
                  
 
 Re: Задача из сборника ЕГЭ-задач
Сообщение17.04.2011, 21:24 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


30/01/09
6591
Левую часть представим как $[(n-1)!+3]n$. Левый множитель здесь взаимно прост с правым. Отсюда $n$ - полный квадрат. Отсюда множитель $3$ входит в левую часть нечётное число раз.

-- Вс апр 17, 2011 22:27:10 --

Цитата:
Левый множитель здесь взаимно прост с правым
Это не так, но общий множитель может быть только тройкой. И слева всё равно тройка в нечётной степени.

 Профиль  
                  
 
 Re: Задача из сборника ЕГЭ-задач
Сообщение17.04.2011, 21:41 
Заслуженный участник


20/12/10
8858
мат-ламер в сообщении #436042 писал(а):
Это не так, но общий множитель может быть только тройкой. И слева всё равно тройка в нечётной степени.


Почему? Сократим обе части на $3^2$, получим $[(n-1)!/3+1] \cdot (n/3)=(k/3)^2$. Теперь сомножители в левой части взаимно просты, так что каждый из них точный квадрат. Но что это даёт?

 Профиль  
                  
 
 Re: Задача из сборника ЕГЭ-задач
Сообщение17.04.2011, 21:45 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


30/01/09
6591
Предыдущее моё сообщение верно при $n>4$.

 Профиль  
                  
 
 Re: Задача из сборника ЕГЭ-задач
Сообщение17.04.2011, 21:46 
Заслуженный участник


20/12/10
8858
мат-ламер в сообщении #436048 писал(а):
Это всё верно при $n>4$.


Не понял. Это всё --- это что? Не вижу, почему верно. После сокращения на 3 множитель $(n-1)!+3$ перестаёт делиться на 3. Откуда слева тройка в нечётной степени?

 Профиль  
                  
 
 Re: Задача из сборника ЕГЭ-задач
Сообщение17.04.2011, 21:59 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


30/01/09
6591

(Оффтоп)

nnosipov. Извиняюсь, предыдущее своё сообщение писал не видя Вашего. Над Вашим думаю, но действуют отвлекающие факторы. Попробуйте прикинуть на примерах.

 Профиль  
                  
 
 Re: Задача из сборника ЕГЭ-задач
Сообщение17.04.2011, 22:02 
Заслуженный участник


20/12/10
8858
мат-ламер в сообщении #436057 писал(а):

(Оффтоп)

nnosipov. Извиняюсь, предыдущее своё сообщение писал не видя Вашего. Над Вашим думаю, но действуют отвлекающие факторы. Попробуйте прикинуть на примерах.


(Оффтоп)

Уже прикидывал --- полный тупик. Вырисовывается только Брокар в виде $(n-1)!/3+1=m^2.$

 Профиль  
                  
 
 Re: Задача из сборника ЕГЭ-задач
Сообщение17.04.2011, 23:19 
Заслуженный участник


02/08/10
629
Что если это решать как-то так:
$n=3x^2$
$(3x^2-1)!=3(m-1)(m+1)$
Но $(3x^2-1)!$ делится на $x^{3x+1}$
И с помощью этого как-то показать, что
$3(m-1)(m+1)\ge 3(x^{3x+1}-2)x^{3x+1}>(3x^2-1)!$
И вроде как тут можно использовать то, что
$n!<3(\frac{n}{2})^n$

Но всё-равно, это никак не тянет на школьную задачу, пусть даже очень высокого уровня)

 Профиль  
                  
 
 Re: Задача из сборника ЕГЭ-задач
Сообщение17.04.2011, 23:49 
Заблокирован


07/02/11

867
MrDindows в сообщении #436105 писал(а):
Но всё-равно, это никак не тянет на школьную задачу, пусть даже очень высокого уровня)

А это тянет? Задача ЕГЭ прошлого года.

Найдите все значения $p$, при которых уравнение $(2p-3)x^3-(6-p)x^2+2px=p$ имеет ровно один корень.

 Профиль  
                  
 
 Re: Задача из сборника ЕГЭ-задач
Сообщение18.04.2011, 02:44 
Заслуженный участник


20/12/10
8858
MrDindows в сообщении #436105 писал(а):
$3(m-1)(m+1)\ge 3(x^{3x+1}-2)x^{3x+1}>(3x^2-1)!$


Как получить первое из этих неравенств? И почему, кстати, $(3x^2-1)!$ делится на $x^{3x+1}$? Для простых $x$ понятно, а для составных $x$?

-- Пн апр 18, 2011 07:43:37 --

spaits в сообщении #436112 писал(а):
Задача ЕГЭ прошлого года.

Найдите все значения $p$, при которых уравнение $(2p-3)x^3-(6-p)x^2+2px=p$ имеет ровно один корень.


Это тоже где-то опубликовано? Или было на реальном ЕГЭ? Действительно, в таком виде эту задачу школьнику не решить, поскольку ответ нельзя выписать (жуткие кубические радикалы, которые лезут из формулы Кардано).

 Профиль  
                  
 
 Re: Задача из сборника ЕГЭ-задач
Сообщение18.04.2011, 03:57 
Заслуженный участник


20/12/10
8858
MrDindows в сообщении #436105 писал(а):
$3(m-1)(m+1)\ge 3(x^{3x+1}-2)x^{3x+1}>(3x^2-1)!$


У Вас здесь и второе неравенство какое-то странное --- формуле Стирлинга противоречит.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 45 ]  На страницу 1, 2, 3  След.

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group