2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




Начать новую тему Ответить на тему На страницу Пред.  1, 2, 3
 
 Re: Задача из сборника ЕГЭ-задач
Сообщение25.04.2011, 14:38 


15/03/11
137
JulianaFostiychuk в сообщении #438481 писал(а):
neo66 в сообщении #438434 писал(а):
JulianaFostiychuk в сообщении #438382 писал(а):
Найти многочлен, корнем которого является не знаю как формулу написать, в общем продиктую так. сумма корней шестой степени из 5 - 2 корня из 6 и 5 + 2 корня из 6.

Так?


не так( корень шестой степени
сейчас попробую.

$\sqrt[6]{5-2\sqrt[2]{6}}$ + $\sqrt[6]{5+2\sqrt[2]{6}}$

воот)


Во-первых под корнями стоят полные квадраты

$$5-2\sqrt{6}=(\sqrt{3}-\sqrt{2})^2$$

Итого получаем

$$x=\sqrt[3]{\sqrt{3}-\sqrt{2}}+\sqrt[3]{\sqrt{3}+\sqrt{2}}$$

возводим всё в третью степень

$$(a+b)^3=a^3+b^3+3ab(a+b)$$

произведение корней даёт 1

$$x^3=(\sqrt{3}-\sqrt{2})+(\sqrt{3}+\sqrt{2})+3\left(\sqrt[3]{\sqrt{3}-\sqrt{2}}+\sqrt[3]{\sqrt{3}+\sqrt{2}}\right)$$
$$x^3=2\sqrt{3}+3x$$

получаем уравнение

$$x^3-3x-2\sqrt{3}=0$$

чтобы избавиться от радикала умножаемна сопряжённоеуравнение
$$(x^3-3x-2\sqrt{3})(x^3-3x+2\sqrt{3})=0$$
$$(x^3-3x)^2-12=0$$

дальше можете раскрыть скобки и получите искомое

 Профиль  
                  
 
 Re: Задача из сборника ЕГЭ-задач
Сообщение25.04.2011, 14:50 
Заслуженный участник


20/12/10
7309
А найдётся ли уравнение (с целыми коэффициентами) меньшей степени?

 Профиль  
                  
 
 Re: Задача из сборника ЕГЭ-задач
Сообщение25.04.2011, 15:06 
Заслуженный участник


14/01/07
787
Нет.

 Профиль  
                  
 
 Re: Задача из сборника ЕГЭ-задач
Сообщение25.04.2011, 16:50 
Заслуженный участник


20/12/10
7309
neo66 в сообщении #438506 писал(а):
Нет.


А как это школьникам объяснить? Без критерия Эйзенштейна?

 Профиль  
                  
 
 Re: Задача из сборника ЕГЭ-задач
Сообщение25.04.2011, 17:51 


21/07/10
555
nnosipov в сообщении #438528 писал(а):
neo66 в сообщении #438506 писал(а):
Нет.


А как это школьникам объяснить? Без критерия Эйзенштейна?


Если уж говорить со школьниками про неприводимость, почему бы не доказать критерий Эйзенштейна и лемму Гаусса?

 Профиль  
                  
 
 Re: Задача из сборника ЕГЭ-задач
Сообщение25.04.2011, 20:28 
Заслуженный участник


20/12/10
7309
Я бы рассказал ещё и про алгоритм факторизации Кронекера, он вполне элементарный.

 Профиль  
                  
 
 Re: Задача из сборника ЕГЭ-задач
Сообщение25.04.2011, 21:58 


21/07/10
555
nnosipov в сообщении #438635 писал(а):
Я бы рассказал ещё и про алгоритм факторизации Кронекера, он вполне элементарный.


Элементарный, но очень медленный - даже при наличии компьютера.
Все равно, что целые числа раскладывать на множители методом пробного деления.

 Профиль  
                  
 
 Re: Задача из сборника ЕГЭ-задач
Сообщение25.04.2011, 22:08 
Заслуженный участник


27/06/08
3429
Волгоград
spaits в сообщении #436415 писал(а):
nnosipov в сообщении #436406 писал(а):
Поэтому задачи, приводящие к такому ответу в случае уравнения, указанного spaits, не могут быть в ЕГЭ.

Ученик, решавший ту задачу на ЕГЭ, после экзамена написал уравнение по памяти, возможно, что-то перепутал. Единственное объяснение.
Но в 2010 году такая задача была.
Я каждый год проверяю задания части C ЕГЭ. А затем еще апелляции принимаю. Если бы такая гадость в прошлом году была, полагаю я бы знал.
По крайней мере, когда несколько лет назад в задания ЕГЭ вкралась нерешаемая задачка по стереометрии, информация об этом распространялась заранее и централизованно, независимо от того, попались данному экзаменатору варианты с данной задачкой.

В любом случае, не вижу необходимости привлечения формулы Кардано, для решения задачи обсуждаемого вида. Нам ведь нужны не корни, а количество корней. Причем вещественных. Поэтому вполне сгодится такой подход:
перенести p в левую часть и рассмотреть ее как функцию;
найти значения p, при которых функция либо не будет иметь экстремумов, либо значения функции в точках экстремумов будут одного знака.

Правда, в обсуждаемом задании выкладки получаются слишком громоздкими. Поэтому склоняюсь к мысли, что условие искажено.

 Профиль  
                  
 
 Re: Задача из сборника ЕГЭ-задач
Сообщение25.04.2011, 22:20 
Заслуженный участник


20/12/10
7309
VAL в сообщении #438691 писал(а):
spaits в сообщении #436415 писал(а):
nnosipov в сообщении #436406 писал(а):
Поэтому задачи, приводящие к такому ответу в случае уравнения, указанного spaits, не могут быть в ЕГЭ.

Ученик, решавший ту задачу на ЕГЭ, после экзамена написал уравнение по памяти, возможно, что-то перепутал. Единственное объяснение.
Но в 2010 году такая задача была.
Я каждый год проверяю задания части C ЕГЭ. А затем еще апелляции принимаю. Если бы такая гадость в прошлом году была, полагаю я бы знал.
По крайней мере, когда несколько лет назад в задания ЕГЭ вкралась нерешаемая задачка по стереометрии, информация об этом распространялась заранее и централизованно, независимо от того, попались данному экзаменатору варианты с данной задачкой.

В любом случае, не вижу необходимости привлечения формулы Кардано, для решения задачи обсуждаемого вида. Нам ведь нужны не корни, а количество корней. Причем вещественных. Поэтому вполне сгодится такой подход:
перенести p в левую часть и рассмотреть ее как функцию;
найти значения p, при которых функция либо не будет иметь экстремумов, либо значения функции в точках экстремумов будут одного знака.

Правда, в обсуждаемом задании выкладки получаются слишком громоздкими. Поэтому склоняюсь к мысли, что условие искажено.


Разумеется, я это и имел в виду. Проблема в том, чтобы производная имела хорошие корни (не более чем квадратичные иррациональности), иначе без формулы Кардано не обойтись (как Вы запишите ответ?). Пример такого задания, которое все-таки можно решить, я привел выше.

 Профиль  
                  
 
 Re: Задача из сборника ЕГЭ-задач
Сообщение26.04.2011, 21:08 


24/04/11
3
Цитата:
Во-первых под корнями стоят полные квадраты

$$5-2\sqrt{6}=(\sqrt{3}-\sqrt{2})^2$$

Итого получаем

$$x=\sqrt[3]{\sqrt{3}-\sqrt{2}}+\sqrt[3]{\sqrt{3}+\sqrt{2}}$$

возводим всё в третью степень

$$(a+b)^3=a^3+b^3+3ab(a+b)$$

произведение корней даёт 1

$$x^3=(\sqrt{3}-\sqrt{2})+(\sqrt{3}+\sqrt{2})+3\left(\sqrt[3]{\sqrt{3}-\sqrt{2}}+\sqrt[3]{\sqrt{3}+\sqrt{2}}\right)$$
$$x^3=2\sqrt{3}+3x$$

получаем уравнение

$$x^3-3x-2\sqrt{3}=0$$

чтобы избавиться от радикала умножаемна сопряжённоеуравнение
$$(x^3-3x-2\sqrt{3})(x^3-3x+2\sqrt{3})=0$$
$$(x^3-3x)^2-12=0$$

дальше можете раскрыть скобки и получите искомое



спасибо огромное. я на первом шаге увидела формулу, но дальше - ступор)
спасибо)

 Профиль  
                  
 
 Re: Задача из сборника ЕГЭ-задач
Сообщение26.04.2011, 21:33 


15/03/11
137
JulianaFostiychuk в сообщении #438929 писал(а):
Цитата:
Во-первых под корнями стоят полные квадраты

$$5-2\sqrt{6}=(\sqrt{3}-\sqrt{2})^2$$

Итого получаем

$$x=\sqrt[3]{\sqrt{3}-\sqrt{2}}+\sqrt[3]{\sqrt{3}+\sqrt{2}}$$

возводим всё в третью степень

$$(a+b)^3=a^3+b^3+3ab(a+b)$$

произведение корней даёт 1

$$x^3=(\sqrt{3}-\sqrt{2})+(\sqrt{3}+\sqrt{2})+3\left(\sqrt[3]{\sqrt{3}-\sqrt{2}}+\sqrt[3]{\sqrt{3}+\sqrt{2}}\right)$$
$$x^3=2\sqrt{3}+3x$$

получаем уравнение

$$x^3-3x-2\sqrt{3}=0$$

чтобы избавиться от радикала умножаемна сопряжённоеуравнение
$$(x^3-3x-2\sqrt{3})(x^3-3x+2\sqrt{3})=0$$
$$(x^3-3x)^2-12=0$$

дальше можете раскрыть скобки и получите искомое



спасибо огромное. я на первом шаге увидела формулу, но дальше - ступор)
спасибо)



Фактически это формула Кардано в чистом виде

 Профиль  
                  
 
 Re: Задача из сборника ЕГЭ-задач
Сообщение12.04.2016, 11:33 
Аватара пользователя


12/04/16
1
Москва
spaits в сообщении #436112 писал(а):
Задача ЕГЭ прошлого года.

Найдите все значения $p$, при которых уравнение $(2p-3)x^3-(6-p)x^2+2px=p$ имеет ровно один корень.


Господа, задача сводится элементарными преобразованиями к равенству вида p=f(x) ну а дальше строится график функции y=f(x) стандартными школьными методами исследования функции (производные школьники брать умеют) и по графику показывается, где прямая y=p пересекает график функции y=f(x) ровно в 1 (одной) точке.

Не буду здесь приводить подробности, надеюсь написанного выше достаточно для их восстановления при необходимости.

Вот и вся премудрость, никаких формул Кардано! Да и не дают формул Кардано в школе :)))

 Профиль  
                  
 
 Re: Задача из сборника ЕГЭ-задач
Сообщение12.04.2016, 12:02 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


23/08/07
4848
Нов-ск
salnsg в сообщении #1114367 писал(а):
и по графику показывается, где прямая y=p пересекает график функции y=f(x) ровно в 1 (одной) точке.
Как по графику показать, что ровно в 1 точке? (Не заметил, что производную брать умеют. Вопрос снимается.)

 Профиль  
                  
 
 Re: Задача из сборника ЕГЭ-задач
Сообщение12.04.2016, 12:41 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


13/08/08
13870
Там получается отношение двух кубических многочленов. Ну максимум и горизонтальную асимптоту посчитать легко, а вот минимум тяжеловато будет. Я думаю, в задаче речь идёт о неотрицательных значениях параметра. Тогда ответ будет состоять из двух пригожих интервалов.

Ой, теме-то уж пять лет. Да и метод предлагался участником VAL. Ну ладно, я типа про асимптоту добавил и предложение внёс :oops:

 Профиль  
                  
 
 Re: Задача из сборника ЕГЭ-задач
Сообщение14.04.2016, 15:00 


23/11/09
173
Тоже добавлю новую идею.
JulianaFostiychuk в [url=http://dxdy.ru/post438382.html#p438382сообщении #438382[/url] писал(а):
Найти многочлен, корнем которого является
$\sqrt[6]{5-2\sqrt[2]{6}}$ + $\sqrt[6]{5+2\sqrt[2]{6}}$
Обозначим $q_1=\sqrt[6]{5-2\sqrt[2]{6}} + \sqrt[6]{5+2\sqrt[2]{6}}$ и заметим, что $q_2=\sqrt[6]{5-2\sqrt[2]{6}}  \sqrt[6]{5+2\sqrt[2]{6}}=1$ и $s_6=\sqrt[6]{5-2\sqrt[2]{6}}^6 + \sqrt[6]{5+2\sqrt[2]{6}}^6=10$. Теперь воспользовавшись представлением $s_6$ через основные симметрические многочлены сразу получаем уравнение которому должен удовлетворять $q_1$.
Что касается минимальной степени такого уравнения(это 6-я степень), то легко доказать что многочлен не разложим в $\mathbb{Z}$ однако из этого не следует, что нет многочлена меньшей степени с тем же корнем или я что-то путаю?

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 45 ]  На страницу Пред.  1, 2, 3

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group