2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


Посмотреть правила форума



Начать новую тему Ответить на тему
 
 Первая теорема Гёделя
Сообщение12.04.2016, 23:32 
Аватара пользователя


29/12/09
74
Добрый вечер. Решил разобраться с первой теоремой Гёделя, ознакомился с доказательством её в Википедии https://en.m.wikipedia.org/wiki/Proof_sketch_for_Gödel%27s_first_incompleteness_theorem и по ссылке из этой статьи http://www.apronus.com/math/goedel.htm . Там строится некоторое утверждение $P(G(P))$, в дальнейшем просто $\pi$, которое оказывается эквивалентным утверждению "$\pi$ недоказуемо". Затем доказывается, что ни $\pi$, ни его отрицание недоказуемы. Не следует ли из этого, что $\pi$ верно, из его эквивалентности своей недоказуемости? Таким рассуждением была доказана истинность утверждения $\pi$, при том, что была доказана его недоказуемость. Как понимать эту ситуацию?

 Профиль  
                  
 
 Re: Первая теорема Гёделя
Сообщение12.04.2016, 23:39 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


16/07/14
9216
Цюрих
Недоказуемость отрицания $\pi$ доказана в предположении $\omega$-непротиворечивости теории - которая, в свою очередь, недоказуема в теории.

 Профиль  
                  
 
 Re: Первая теорема Гёделя
Сообщение13.04.2016, 13:13 


06/07/11
192
Доказуемость - только часть истины :wink:

 Профиль  
                  
 
 Re: Первая теорема Гёделя
Сообщение13.04.2016, 14:23 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


16/07/14
9216
Цюрих
Lukin в сообщении #1114652 писал(а):
Доказуемость - только часть истины :wink:

Поясните, пожалуйста.

 Профиль  
                  
 
 Re: Первая теорема Гёделя
Сообщение13.04.2016, 20:42 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


20/08/14
8626
Rubik в сообщении #1114526 писал(а):
Как понимать эту ситуацию?
Не существует "доказуемости вообще" и "недоказуемости вообще". Существует доказуемость и недоказуемость в конкретной теории - т.е. выводимость и невыводимость из аксиом теории посредством правил вывода теории. В первой теореме Геделя показано, что в формальной арифметике первого порядка существует утверждение, которое нельзя вывести из аксиом формальной арифметики первого порядка посредством правил вывода формальной арифметики первого порядка - т.е. оно недоказуемо в формальной арифметике первого порядка. В более мощной теории это же утверждение может быть доказуемо, так что противоречия здесь нет.

-- 13.04.2016, 20:44 --

Lukin
Человек задал математический вопрос. Вы не могли бы не сбивать его философией?

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 5 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: Evgeniy82


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group