2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


Посмотреть правила форума



Начать новую тему Ответить на тему
 
 Первая теорема Гёделя
Сообщение12.04.2016, 23:32 
Аватара пользователя


29/12/09
74
Добрый вечер. Решил разобраться с первой теоремой Гёделя, ознакомился с доказательством её в Википедии https://en.m.wikipedia.org/wiki/Proof_sketch_for_Gödel%27s_first_incompleteness_theorem и по ссылке из этой статьи http://www.apronus.com/math/goedel.htm . Там строится некоторое утверждение $P(G(P))$, в дальнейшем просто $\pi$, которое оказывается эквивалентным утверждению "$\pi$ недоказуемо". Затем доказывается, что ни $\pi$, ни его отрицание недоказуемы. Не следует ли из этого, что $\pi$ верно, из его эквивалентности своей недоказуемости? Таким рассуждением была доказана истинность утверждения $\pi$, при том, что была доказана его недоказуемость. Как понимать эту ситуацию?

 Профиль  
                  
 
 Re: Первая теорема Гёделя
Сообщение12.04.2016, 23:39 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


16/07/14
9545
Цюрих
Недоказуемость отрицания $\pi$ доказана в предположении $\omega$-непротиворечивости теории - которая, в свою очередь, недоказуема в теории.

 Профиль  
                  
 
 Re: Первая теорема Гёделя
Сообщение13.04.2016, 13:13 


06/07/11
192
Доказуемость - только часть истины :wink:

 Профиль  
                  
 
 Re: Первая теорема Гёделя
Сообщение13.04.2016, 14:23 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


16/07/14
9545
Цюрих
Lukin в сообщении #1114652 писал(а):
Доказуемость - только часть истины :wink:

Поясните, пожалуйста.

 Профиль  
                  
 
 Re: Первая теорема Гёделя
Сообщение13.04.2016, 20:42 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


20/08/14
8886
Rubik в сообщении #1114526 писал(а):
Как понимать эту ситуацию?
Не существует "доказуемости вообще" и "недоказуемости вообще". Существует доказуемость и недоказуемость в конкретной теории - т.е. выводимость и невыводимость из аксиом теории посредством правил вывода теории. В первой теореме Геделя показано, что в формальной арифметике первого порядка существует утверждение, которое нельзя вывести из аксиом формальной арифметики первого порядка посредством правил вывода формальной арифметики первого порядка - т.е. оно недоказуемо в формальной арифметике первого порядка. В более мощной теории это же утверждение может быть доказуемо, так что противоречия здесь нет.

-- 13.04.2016, 20:44 --

Lukin
Человек задал математический вопрос. Вы не могли бы не сбивать его философией?

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 5 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: Alex Krylov


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group