Целые точки на эллиптических кривых

[Батороев]

А что, если кривульку Морделла выразить через:
k^3 = \frac{(k^3+1)^2}{4} - \frac{(k^3-1)^2}{4} = x^2 - y^2 $
тогда
$ x^2 - y^2 - 10 = n^2 $ (1)

По-моему, невыполнение уравнения (1) в целых числах можно доказать.

[RIP]

(1) имеет бесконечно много очевидных решений

$$n=2m+1, y=\frac{n^2+9}2,x=y+1$$

[Lion]

Артамонов Ю.Н. писал(а):

Lion писал(а):

По-моему, этот вопрос еще не решен. Но есть следующий результат (Зигель, 1929 г.): если $k=27\cdot 2^{2n-2}m^{2n}$, где $n\geq 3$, $m=1, p, pq$ ($p,q$ --- различные простые), то уравнение не имеет решений во взаимно простых целых числах.

А на этот результат ссылку не дадите? Странно, мне казалось, что сделать это не сверхсложно.

Я немного напутал: Зигель доказал, что при каждом $k$ существует не более чем конечное множество решений (посмотрите здесь).
А написанное выше условие на $k$ следует из неразрешимости уравнения Ферма $x^n+y^n=z^n$. Прочитать об этом можно в книге Рибенбойма "Последняя теорема Ферма для любителей", стр. 263. Доказательство совершенно элементарное, но довольно громоздкое, и я не хотел бы приводить его здесь.

[Батороев]

Артамонов Ю.Н. писал(а):

Единственно, можно оставить, что $k=7(8t+5)$.

При этом: $ n = 14s\pm\ 5

[Vica Sergeeva]

Для каких натурльных k существуют натуральные m и n, такие что $m^2+n^3=k$?

(PAV) Ставьте знаки долларов вокруг формул

[maxal]

Это т.н. эллиптическая кривая Морделла.
См. http://mathworld.wolfram.com/MordellCurve.html и http://tnt.math.se.tmu.ac.jp/simath/MORDELL/

[нг]

Замечание за дублирование тем.

Дубли в «Олимпиадных задачах» удалены.

[Azog]

Это уравнение Пелля вроде

[bot]

Нет, maxal ведь уже сказал, а уравнение Пелля - это задача Архимеда о быках и выглядит так: $x^2 - Dy^2=1$.
Решение его с помощью цепных дробей принадлежит Лагранжу, а Эйлер ошибочно приписал его Пеллю.
Иногда уравнения $x^2 - Dy^2=a$ также называют уравнением Пелля.
Оно разрешимо уже не при всяких a.

[Imperator]

Решить в целых числах:

1) $x^{2}+5=y^{3};$

2) $x^{2}+7=y^{3}.$


Можно ли по фиксированному простому $p$ сказать, имеет ли уравнение $x^{2}+p=y^{3}$ решения в целых числах?

[maxal]

Imperator в сообщении #173668 писал(а):

Можно ли по фиксированному простому $p$ сказать, имеет ли уравнение $x^{2}+p=y^{3}$ решения в целых числах?

Можно - например, пакет MAGMA умеет это делать.

[Imperator]

Первое уравнение (уверен на 97% ) решений не имеет. По крайней мере программка, которую написал, решений не находит. Нетрудно заметить, что если решения и есть, то $x$ - четное, $y$ - нечетно.

[maxal]

Imperator
По поводу ваших конкретных уравнений - см. http://tnt.math.se.tmu.ac.jp/simath/MORDELL/MORDELL-
У первого решений нет. У второго решениями являются:
$(\pm 1, 2)$ и $(\pm 181, 32)$, других нет.

[Imperator]

maxal

Спасибо!

[daogiauvang]

Найти все целые решения уравнения:
$3x^2+1=4y^3$