получение общего уравнения кривой второго порядка

[Brukvalub]

Munin, не знаю, как там у вас в физике, но у нас, в математике, определения не требуют "доказательств" или обширных объяснений. Их (определения) просто заучивают и используют в построении теории.

[Munin]

Brukvalub
Не знаю, как у вас в математике, а у нас в физике долдонства не любят. Человек спрашивает одно, а вы придираетесь к другому. Вы ему никак не помогаете, а только раздражаете. Хуже того: вы его ссорите с форумом и сообществом. Он не сможет вам ответить вежливо и корректно, получит по шапке от модератора, и/или сам обидится и уйдёт. Вы будете довольны своим подвигом. А по сути, только навредили всем.

[tolstopuz]

Brukvalub в сообщении #1114414 писал(а):

Их (определения) просто заучивают и используют в построении теории.

У определений еще бывает мотивация. На формальную правильность теории она не влияет, а на компактную укладку теории в мозгу - очень даже.

[provincialka]

Надо бы все-таки дождаться автора, а не додумывать за него, что ему непонятно.

Но на всякий случай предложу свою версию. Может быть автор считает, что кривые (второго порядка) заданы не уравнением, а как-то ещё. Например, как конические сечения. Тогда уравнение такой кривой придётся как-то выводить, разумеется.

-- 12.04.2016, 17:02 --

Brukvalub
Ну, все-таки, откуда-то же определение берётся! Исторически сначала кривые изучали не координатным методом, а "натуральным". Координаты и уравнения возникли потом.

[Brukvalub]

Munin в сообщении #1114415 писал(а):

Человек спрашивает одно, а вы придираетесь к другому.

Munin, читаем ВНИМАТЕЛЬНО:

Axtone в сообщении #1114365 писал(а):

provincialka в сообщении #1114351 писал(а):

Что значит "как выводится"? Из чего? Это общее уравнение, в которое переменные входят в степени не выше 2. Или вы можете ещё какие-нибудь слагаемые такой степени предложить?
Кстати, у вас, собственно уравнения-то и нет. Надо этот многочлен к 0 приравнять.

Хорошо, не вывод, но доказательство того что оно имеет именно такой вид. ...

(Выделение слова "доказательство" - мое ).
Наверное, вы заметили, что ТС хочет получить именно ДОКАЗАТЕЛЬСТВО определения?
Так к чему же я "придирался"? Вы за свои слова отвечать будете?

-- Вт апр 12, 2016 17:38:53 --

Munin в сообщении #1114415 писал(а):

Он не сможет вам ответить вежливо и корректно, получит по шапке от модератора, и/или сам обидится и уйдёт. Вы будете довольны своим подвигом. А по сути, только навредили всем.

Это только ваши измышления о мотивах моего поведения. Не нужно толковать мои поступки, исходя из своих целей участия в форуме.

-- Вт апр 12, 2016 17:51:03 --

tolstopuz в сообщении #1114418 писал(а):

У определений еще бывает мотивация. На формальную правильность теории она не влияет, а на компактную укладку теории в мозгу - очень даже.

Согласен! И эта мотивация написана в любом учебнике: кривая второго порядка- это множество нулей многочлена второго порядка от двух переменных. Значит, нужно выписать общий вид многочлена второго порядка от двух переменных, записав его как сумму всех мономов с неопределенными коэффициентами, оговорить невырожденность квадратичной части, приравнять многочлен к нулю и назвать множество решений полученного уравнения "общей кривой второго порядка".

[tolstopuz]

Brukvalub в сообщении #1114431 писал(а):

Значит, нужно выписать общий вид многочлена второго порядка от двух переменных, записав его как сумму всех мономов с неопределенными коэффициентами

И все же, куда и почему деваются $a_{21}$, $a_{31}$ и $a_{32}$? :)

[Brukvalub]

tolstopuz в сообщении #1114436 писал(а):

И все же, куда и почему деваются $a_{21}$, $a_{31}$ и $a_{32}$? :)

Уважаемый tolstopuz, если вы, как я предлагал выше, перечислите здесь все различные мономы от двух переменных не выше второй степени, то я объясню вам, почему Володька сбрил усы куда деваются лишние коэффициенты.

[provincialka]

Господа! Давайте дождёмся ТС-а. Не будем спорить.

[Axtone]

Munin в сообщении #1114409 писал(а):

Почему она такая? Потому что нам нужно общее уравнение 2 порядка. Это значит, что у нас должны быть произведения переменных 2 порядка, плюс возможно низших порядков. Вот они у нас все и выписаны: второго порядка, первого и нулевого:

$$\underline{\,\,\ldots x^2+\ldots xy+\ldots y^2\,}_{\,(2)}\quad+\quad\underline{\,\,\ldots x+\ldots y\,}_{\,(1)}\quad+\quad\underline{\,\,\ldots\vphantom{y}\,}_{\,(0)}\quad=0.$$

Следующий вопрос: а почему эти коэффициенты так странно названы:

$$A\to a_{11},\quad B\to 2a_{12},\quad C\to a_{22},\quad D\to 2a_{13},\quad E\to 2a_{23},\quad F\to a_{33}?$$

На него ответ такой: по некоторым причинам, коренящимся в других разделах математики, которые будут впереди (в линейной алгебре, в основном), удобно это уравнение представлять себе в таком виде:

$$\begin{array}{cccc} & {\scriptstyle (x)}\hphantom{{}+{}} & {\scriptstyle (y)}\hphantom{{}+{}} & {\scriptstyle (1)}\hphantom{{}+{}} \\ {\scriptstyle (x)} & a_{11}\cdot x\cdot x+{} & a_{12}\cdot x\cdot y+{} & a_{13}\cdot x\cdot 1+{} \\ {\scriptstyle (y)} & a_{21}\cdot y\cdot x+{} & a_{22}\cdot y\cdot y+{} & a_{23}\cdot y\cdot 1+{} \\ {\scriptstyle (1)} & a_{31}\cdot 1\cdot x+{} & a_{32}\cdot 1\cdot y+{} & a_{33}\cdot 1\cdot 1\hphantom{{}+{}} \\ \end{array} \begin{array}{l} \\ =0. \end{array}$$

Надеюсь, здесь легко видно, какова структура такой записи: столбцы умножаются на одну из переменных $(x,y,1)$ по очереди, соответственно номеру столбца, и строки точно так же умножаются на одну из переменных $(x,y,1)$ по очереди, соответственно номеру строки. А все коэффициенты $a_{ij}$ - произвольно заданные. Они образуют квадратную табличку - матрицу коэффициентов:

$$\begin{matrix}a_{11} & a_{12} & a_{13} \\ a_{21} & a_{22} & a_{23} \\ a_{31} & a_{32} & a_{33} \\ \end{matrix}$$

Но поскольку умножение коммутативно, то $xy=yx,$ и в уравнение у нас входят не раздельно слагаемые $\ldots a_{12}xy+a_{21}yx\ldots,$ а только их сумма $\ldots (a_{12}+a_{21})xy\ldots$ Это позволяет наложить соотношения, что симметричные (относительно диагонали квадрата) коэффициенты равны между собой:

$$\xymatrix@=0.5pc{ & a_{12} & a_{13} \\ a_{21}\ar@{=}[ur] & & a_{23} \\ a_{31}\ar@{=}[uurr] & a_{32}\ar@{=}[ur] & \\ }$$

После этого, можно просто не пользоваться обозначениями "ниже диагонали" $a_{21},a_{31},a_{32},$ а заменить их на "наддиагональные", и соответствующие приведённые слагаемые превращаются в

$$\ldots a_{12}xy+a_{21}yx\ldots=\ldots (a_{12}+a_{21})xy\ldots=\ldots 2a_{12}xy\ldots$$

Вот отсюда и вылезают двойки. И в итоге, получается вот это выражение, вызвавшее у вас вопросы:

$$a_{11}x^2+2a_{12}xy+a_{22}y^2+2a_{13}x+2a_{23}y+a_{33}=0.$$

Это уже непринципиально.

Большое спасибо Вам уважаемый Munin, ситуация для меня лично, теперь, значительно! прояснилась, буду разбираться далее, еще раз спасибо. Тему можно закрыть, всем участникам спасибо за потраченное время.

[Munin]

Я-таки угадал правильно, что приятно.

[provincialka]

Axtone
А все-таки что же вам было непонятно? Обозначения для коэффициентов?

[Axtone]

provincialka в сообщении #1114547 писал(а):

Axtone
А все-таки что же вам было непонятно? Обозначения для коэффициентов?

да всего по немногу как бы...куда они деваются и почему там есть 2, почему в такой комбинации? я примерно то понимал, но... просто линейкой я еще основательно не занимался, теперь займусь. да и человек я совершенно далекий от математики поэтому вот так вот малограмотно и обще сформулировал в виде "доказательство почему оно имеет такой вид", хотя подозревал, что это "минное поле".

[Munin]

Axtone в сообщении #1114610 писал(а):

просто линейкой я еще основательно не занимался, теперь займусь.

Обычно они преподаются в таком порядке: аналитическая геометрия, линейная алгебра. В этом порядке их и стоит изучать.

По сути, они рассказывают о 2, 3-мерном пространстве, и об $n$-мерном пространстве. С общих позиций:
- пространство понимается как числовое / координатное;
- геометрические фигуры в этом пространстве связываются с алгебраическими уравнениями, неравенствами и т. п.;
- строится алгебраическая теория для эффективной работы с этими фигурами и уравнениями.

Частично ан. геом. и лин. ал. перекрываются по тематике. Но между ними разные акценты: аналитическая геометрия больше обращается к геометрическим образам, которые можно изобразить на чертеже, и с которыми можно работать методами элементарной ("школьной") геометрии. Линейная алгебра смелее отрывается от элементарной геометрии, и больше развивает общие и абстрактные понятия, с которыми геометрическая интуиция может "не работать", и приходится действовать алгебраически.

В то же время, есть набор тем, которые изучаются и там и там, как "возвращение к пройденному".

[Axtone]

Munin в сообщении #1114619 писал(а):

Axtone в сообщении #1114610 писал(а):

просто линейкой я еще основательно не занимался, теперь займусь.

Обычно они преподаются в таком порядке: аналитическая геометрия, линейная алгебра. В этом порядке их и стоит изучать.

По сути, они рассказывают о 2, 3-мерном пространстве, и об $n$-мерном пространстве. С общих позиций:
- пространство понимается как числовое / координатное;
- геометрические фигуры в этом пространстве связываются с алгебраическими уравнениями, неравенствами и т. п.;
- строится алгебраическая теория для эффективной работы с этими фигурами и уравнениями.

Частично ан. геом. и лин. ал. перекрываются по тематике. Но между ними разные акценты: аналитическая геометрия больше обращается к геометрическим образам, которые можно изобразить на чертеже, и с которыми можно работать методами элементарной ("школьной") геометрии. Линейная алгебра смелее отрывается от элементарной геометрии, и больше развивает общие и абстрактные понятия, с которыми геометрическая интуиция может "не работать", и приходится действовать алгебраически.

В то же время, есть набор тем, которые изучаются и там и там, как "возвращение к пройденному".

Munin, если вы не против, буквально пару вопросов в лс, обещаю не займу много времени.

[Munin]

Лучше публично. Авось найдётся кто-нибудь кроме меня, готовый доброжелательно ответить. Хотя если очень надо, я принимаю ЛС.

И ещё. Старайтесь цитировать только то, что нужно для написания ответа.