Все подгруппы знакопеременной группы A4

[student1138]

Добрый день.

Есть следующая задача:


Я выписал все четные перестановки и очевидные циклические группы:

1) Единичная перестановка - $e$

2) Трехэлементные перестановки (в соответствующих группах):

$ G_1 = \left\lbrace e, (123), (132) \right\rbrace $
$ G_2 = \left\lbrace e, (124), (142) \right\rbrace $
$ G_3 = \left\lbrace e, (134), (143) \right\rbrace $
$ G_4 = \left\lbrace e, (234), (243) \right\rbrace $

3) Четырехэлементные перестановки:

$ G_5 = \left\lbrace e, (12)(34) \right\rbrace $
$ G_6 = \left\lbrace e, (13)(24) \right\rbrace $
$ G_7 = \left\lbrace e, (14)(23) \right\rbrace $

Однако по условию задачи необходимо убедиться что нет никаких других групп, кроме изображенных на диаграмме.
Наверное можно это сделать полным переобором всевозможных сочетаний перестановок, в процессе которого найдется и группа Клейна.

Но не хотелось бы таким заниматься. Подскажите, можно ли какими-то рассуждениями сократить перебор, или вообще обойтись без него?

[Lia]

Тема перемещена из форума «Помогите решить / разобраться (М)» в форум «Карантин»
по следующим причинам:

- неправильно набраны формулы (краткие инструкции: «Краткий FAQ по тегу [math]» и видеоролик Как записывать формулы);

Исправьте все Ваши ошибки и сообщите об этом в теме Сообщение в карантине исправлено.
Настоятельно рекомендуется ознакомиться с темами Что такое карантин и что нужно делать, чтобы там оказаться и Правила научного форума.

[Lia]

Тема перемещена из форума «Карантин» в форум «Помогите решить / разобраться (М)»

[lek]

student1138 в сообщении #1113824 писал(а):

Подскажите, можно ли какими-то рассуждениями сократить перебор, или вообще обойтись без него?

Достаточно показать, что пары перестановок $(123),(124)$ и $(123),(12)(34)$ (независимо) порождают $A_4$.

Альтернативно: порядок (собственной неединичной) подгруппы в $A_4$ может быть только 2,3,4 и 6 (теорема Лагранжа). Первые три варианта возможны и уже построены, а последний исключен (любая подгруппа порядок которой в 2 раза меньше порядка группы нормальна в ней).

[student1138]

lek в сообщении #1113899 писал(а):

Достаточно показать, что пары перестановок $(123),(124)$ и $(123),(12)(34)$ (независимо) порождают $A_4$.

Не могу понять ход мысли. Почему этого будет достаточно?

[bot]

student1138 в сообщении #1114032 писал(а):

Почему этого будет достаточно?

Какие бывают чётные подстановки? Что они порождают поодиночке и вдвоём? Что будет в пересечении однопорождённых?

[student1138]

bot в сообщении #1114036 писал(а):

Какие бывают чётные подстановки?

Выписал выше, всего 12 штук вместе с $e$

bot в сообщении #1114036 писал(а):

Что они порождают поодиночке и вдвоём?

Поодиночке - циклические группы, тоже выписал выше.
Вдвоем - наверное некие подгруппы группы $A_4$

bot в сообщении #1114036 писал(а):

Что будет в пересечении однопорождённых?

Не уверен что понимаю о чем идет речь.

[lek]

student1138 в сообщении #1114032 писал(а):

Почему этого будет достаточно?

Обратите внимание на симметрию распределения символов в однотипных парах порождающих.

student1138 в сообщении #1114043 писал(а):

Вдвоем - наверное некие подгруппы группы $A_4$

$V_4$, $A_3$ и $A_4$ (проверьте!).

[student1138]

Пока что я вижу процедуру проверки так:

Берем один элемент из одной группы, второй элемент из другой группы и проверяем что они порождают.
Так проверяем все сочетания элементов из двух разных групп.

Например:

сначала проверяем элемент из $G_1$ в сочетании с элементами из $G_2...G_7$ (всего 6 проверок)
затем элемент из $G_2$ в сочетании с элементами из $G_3...G_7$ (5 проверок)
и так далее.

Таким образом придется сделать 21 проверку, в процессе которых обнаружится группа Клейна.

Но вот понять почему не обязательно делать все проверки а можно ограничиться только этими двумя все-равно не могу:

lek в сообщении #1113899 писал(а):

Достаточно показать, что пары перестановок $(123),(124)$ и $(123),(12)(34)$ (независимо) порождают $A_4$.

[bot]

Блин, ну симметрией же

lek в сообщении #1114044 писал(а):

Обратите внимание на симметрию распределения символов в однотипных парах порождающих.

воспользуйтесь. Зачем Вам проверять все однотипные с (123) - одной не хватит? То же самое (123) с друготипной (юю)(юю), а из трёх друготипных не хватит взять любые две?

[student1138]

bot в сообщении #1114090 писал(а):

Блин, ну симметрией же

lek в сообщении #1114044 писал(а):

Обратите внимание на симметрию распределения символов в однотипных парах порождающих.

воспользуйтесь. Зачем Вам проверять все однотипные с (123) - одной не хватит? То же самое (123) с друготипной (юю)(юю), а из трёх друготипных не хватит взять любые две?

Я понял мысль. Например если $(123)$ и $(124)$ порождают $A_4$ то тогда проверять $(134)$ и $(234)$ уже не нужно, т.к. они "однотипные". Хотя мне все-равно не очевидно откуда это следует (что это там за симметрия такая).

[lek]

Выбранные вами пары порождают изоморфные группы. Этот (внутренний) изоморфизм можно определить отображением $1\to3$, $2\to4$, $3\to1$, $4\to2$, что легко проверить: $(13)(24)(123)(13)(24)=(134)$ и $(13)(24)(124)(13)(24)=(234)$. Замените вторую пару порождающих на $(acd)$ и $(bcd)$, где $a\ne b$, и получите общее утверждение.