2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


Посмотреть правила форума



Начать новую тему Ответить на тему
 
 Уравнения сепарастрис
Сообщение09.04.2016, 00:33 
Аватара пользователя


26/05/12
1694
приходит весна?
Можно ли для динамической системы с двумерным фазовым пространством в общем виде:$$\left\{ \begin{matrix}
   \dot{x}=F\left( x,y \right)  \\
   \dot{y}=G\left( x,y \right)  \\
\end{matrix} \right.$$каким либо образом получить уравнения для сепаратрис, если известны координаты сёдел (в случае если они есть, разумеется). Неявная форма или даже дифференциальное уравнение — всё подойдёт.

С одной стороны, кажется, что сепаратриса в плане формул ничем не отличается от любой другой фазовой кривой, даже дифференциальное уравнение то же самое, но если я захочу посчитать (численным интегрированием, например), то какие взять начальные условия? Самое седло начальной точкой быть не может, если чуть-чуть отойти в направлении, которое подсказывает линеаризация в окрестности седла и честное решение, то нет гарантии, что маленькая ошибка не приведёт к тому, что вычисляемая фазовая траектория "слезет" с реальной сепаратрисы.

Можно, конечно, варьировать начальные условия и, в зависимости от того, в какую сторону "соскакивает" вычисляемая траектория, поправлять эти начальные условия. Получится что-то похожее на метод стрельбы для решения краевой задачи или задачи на собственные значения, но это не явное решение, а подгон. Интуиция подсказывает, что задачу можно переформулировать так, чтобы получить строгое явное условие и решение, только я не знаю как. В каком направлении копать?

 Профиль  
                  
 
 Re: Уравнения сепарастрис
Сообщение09.04.2016, 02:34 
Заслуженный участник


09/05/13
8904
∞⠀⠀⠀⠀
Для системы
$\left\{\begin{array}{rcl} \dot{x}=P(x,y) \\ \dot{y}=Q(x,y) \\\end{array}\right$
седловая сепаратриса $\{H(x,y)=0\}$ является (локально) инвариантным многообразием, а это значит, что векторное поле $v=P\dfrac{\partial}{\partial x}+Q \dfrac{\partial}{\partial y}$ касается этого многообразия в любой его точке. Это обеспечивает условие равенства нулю производной по направлению этого векторного поля функции $H$ во всех точках $\{H=0\}$. Иначе,
$$P\dfrac{\partial H}{\partial x}+Q \dfrac{\partial H}{\partial y}=k(x,y)H(x,y). $$
Даст ли Вам это что-либо - не знаю :)

 Профиль  
                  
 
 Re: Уравнения сепарастрис
Сообщение09.04.2016, 10:36 
Заслуженный участник


05/08/14
1564
Для Гамильтоновых систем сепаратриса будет линией уровня гамильнониана, проходящей через седловую точку. Так, что неявно можно выразить. В общем случае вряд ли возможно выразить сепаратрису аналитически, в этом случае надо решать уравнение в частных производных, указанное Otta, что необязательно проще, чем решать исходное уравнение, начиная в малой окрестности седловой точки на соответствующем линеаризованном инвариантном многообразии.
Если немного возмутить гамильтонову систему (при этом гетеро-гомоклиника может пропасть), то можно попытаться разложить сепаратрису по малому параметру в какой-то окрестности гамильтоновой сепаратрисы.

 Профиль  
                  
 
 Re: Уравнения сепарастрис
Сообщение09.04.2016, 17:16 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


31/01/14
11305
Hogtown
Вне окрестности седла мы можем использовать обычные методы, а вблизи система "в основном" линейна.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 4 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group