2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


Посмотреть правила форума



Начать новую тему Ответить на тему
 
 Уравнения сепарастрис
Сообщение09.04.2016, 00:33 
Аватара пользователя


26/05/12
1694
приходит весна?
Можно ли для динамической системы с двумерным фазовым пространством в общем виде:$$\left\{ \begin{matrix}
   \dot{x}=F\left( x,y \right)  \\
   \dot{y}=G\left( x,y \right)  \\
\end{matrix} \right.$$каким либо образом получить уравнения для сепаратрис, если известны координаты сёдел (в случае если они есть, разумеется). Неявная форма или даже дифференциальное уравнение — всё подойдёт.

С одной стороны, кажется, что сепаратриса в плане формул ничем не отличается от любой другой фазовой кривой, даже дифференциальное уравнение то же самое, но если я захочу посчитать (численным интегрированием, например), то какие взять начальные условия? Самое седло начальной точкой быть не может, если чуть-чуть отойти в направлении, которое подсказывает линеаризация в окрестности седла и честное решение, то нет гарантии, что маленькая ошибка не приведёт к тому, что вычисляемая фазовая траектория "слезет" с реальной сепаратрисы.

Можно, конечно, варьировать начальные условия и, в зависимости от того, в какую сторону "соскакивает" вычисляемая траектория, поправлять эти начальные условия. Получится что-то похожее на метод стрельбы для решения краевой задачи или задачи на собственные значения, но это не явное решение, а подгон. Интуиция подсказывает, что задачу можно переформулировать так, чтобы получить строгое явное условие и решение, только я не знаю как. В каком направлении копать?

 Профиль  
                  
 
 Re: Уравнения сепарастрис
Сообщение09.04.2016, 02:34 
Заслуженный участник


09/05/13
8904
∞⠀⠀⠀⠀
Для системы
$\left\{\begin{array}{rcl} \dot{x}=P(x,y) \\ \dot{y}=Q(x,y) \\\end{array}\right$
седловая сепаратриса $\{H(x,y)=0\}$ является (локально) инвариантным многообразием, а это значит, что векторное поле $v=P\dfrac{\partial}{\partial x}+Q \dfrac{\partial}{\partial y}$ касается этого многообразия в любой его точке. Это обеспечивает условие равенства нулю производной по направлению этого векторного поля функции $H$ во всех точках $\{H=0\}$. Иначе,
$$P\dfrac{\partial H}{\partial x}+Q \dfrac{\partial H}{\partial y}=k(x,y)H(x,y). $$
Даст ли Вам это что-либо - не знаю :)

 Профиль  
                  
 
 Re: Уравнения сепарастрис
Сообщение09.04.2016, 10:36 
Заслуженный участник


05/08/14
1564
Для Гамильтоновых систем сепаратриса будет линией уровня гамильнониана, проходящей через седловую точку. Так, что неявно можно выразить. В общем случае вряд ли возможно выразить сепаратрису аналитически, в этом случае надо решать уравнение в частных производных, указанное Otta, что необязательно проще, чем решать исходное уравнение, начиная в малой окрестности седловой точки на соответствующем линеаризованном инвариантном многообразии.
Если немного возмутить гамильтонову систему (при этом гетеро-гомоклиника может пропасть), то можно попытаться разложить сепаратрису по малому параметру в какой-то окрестности гамильтоновой сепаратрисы.

 Профиль  
                  
 
 Re: Уравнения сепарастрис
Сообщение09.04.2016, 17:16 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


31/01/14
11292
Hogtown
Вне окрестности седла мы можем использовать обычные методы, а вблизи система "в основном" линейна.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 4 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: DariaRychenkova


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group