Уравнения сепарастрис

[B@R5uk]

Можно ли для динамической системы с двумерным фазовым пространством в общем виде:

$$\left\{ \begin{matrix} \dot{x}=F\left( x,y \right) \\ \dot{y}=G\left( x,y \right) \\ \end{matrix} \right.$$

каким либо образом получить уравнения для сепаратрис, если известны координаты сёдел (в случае если они есть, разумеется). Неявная форма или даже дифференциальное уравнение — всё подойдёт.

С одной стороны, кажется, что сепаратриса в плане формул ничем не отличается от любой другой фазовой кривой, даже дифференциальное уравнение то же самое, но если я захочу посчитать (численным интегрированием, например), то какие взять начальные условия? Самое седло начальной точкой быть не может, если чуть-чуть отойти в направлении, которое подсказывает линеаризация в окрестности седла и честное решение, то нет гарантии, что маленькая ошибка не приведёт к тому, что вычисляемая фазовая траектория "слезет" с реальной сепаратрисы.

Можно, конечно, варьировать начальные условия и, в зависимости от того, в какую сторону "соскакивает" вычисляемая траектория, поправлять эти начальные условия. Получится что-то похожее на метод стрельбы для решения краевой задачи или задачи на собственные значения, но это не явное решение, а подгон. Интуиция подсказывает, что задачу можно переформулировать так, чтобы получить строгое явное условие и решение, только я не знаю как. В каком направлении копать?

[Otta]

Для системы
$\left\{\begin{array}{rcl} \dot{x}=P(x,y) \\ \dot{y}=Q(x,y) \\\end{array}\right$
седловая сепаратриса $\{H(x,y)=0\}$ является (локально) инвариантным многообразием, а это значит, что векторное поле $v=P\dfrac{\partial}{\partial x}+Q \dfrac{\partial}{\partial y}$ касается этого многообразия в любой его точке. Это обеспечивает условие равенства нулю производной по направлению этого векторного поля функции $H$ во всех точках $\{H=0\}$. Иначе,

$$P\dfrac{\partial H}{\partial x}+Q \dfrac{\partial H}{\partial y}=k(x,y)H(x,y). $$

Даст ли Вам это что-либо - не знаю :)

[dsge]

Для Гамильтоновых систем сепаратриса будет линией уровня гамильнониана, проходящей через седловую точку. Так, что неявно можно выразить. В общем случае вряд ли возможно выразить сепаратрису аналитически, в этом случае надо решать уравнение в частных производных, указанное Otta, что необязательно проще, чем решать исходное уравнение, начиная в малой окрестности седловой точки на соответствующем линеаризованном инвариантном многообразии.
Если немного возмутить гамильтонову систему (при этом гетеро-гомоклиника может пропасть), то можно попытаться разложить сепаратрису по малому параметру в какой-то окрестности гамильтоновой сепаратрисы.

[Red_Herring]

Вне окрестности седла мы можем использовать обычные методы, а вблизи система "в основном" линейна.