|
Еще раз выражаю свою благодарность математикам, пожелавшим высказаться, и все-таки рискну сказать еще несколько слов.
Неявный, а когда и явный посыл, звучащий в постах г-на Supreme Being (в исходной конференции и здесь) таков, что люди с математическим образованием якобы не способны понять его мыслей относительно размерности, а потому скатываются к бессильной злобе. Очевидно, что-то мешает ему принять тот факт, что если столь немалое количество математиков призывает его одуматься и ознакомиться с некоторыми элементарными сведениями из математики, то это неплохо бы сделать, отказавшись от излишнего упрямства.
Выскажу уверенность, что все собравшиеся здесь математики прекрасно и однозначно понимают то, что хочет сказать Supreme Being. Его аргументы о непонимании совершенно несостоятельны. Просто математики, в том числе и я, не согласны с его трактовкой, ибо эта трактовка математически некорректна и попросту неграмотна. С нею не согласится и еще сотня или тысяча математиков, причем они тоже прекрасно поймут, о чем идет речь. Понимание некоторого утверждения и согласие с ним - далеко не одно и то же.
Начнем с "абстрактного пространства", с которым хочет работать Supreme Being, отказавшись от топологии и геометрии. Но пространство тем и ценно - как в прикладном плане, так и в теоретическом - что на нем, как на множестве некоторых элементов, существует аксиоматика и операции, позволяющие изучать его методами геометрической науки. В противном случае можно впасть в излишнюю абстрактность и устранить из множества и линейность, и метрику, и топологию... да все что угодно. Тогда ни о каких размерностях поверхностей речь действительно вести нельзя, но тогда нельзя вести речь ни о самих поверхностях, ни о пространстве вообще. Тогда надо говорить о множестве, а не о пространстве, полностью выключив из работы методы геометрии и топологии.
Еще раз: там не будет никаких размерностей. Но не будет ни пространств, ни поверхностей - ничего, подходящего для изучения методами линейной алгебры, дифференциальной геометрии и топологии. То есть если начинать с абстрактного множества без топологии - то на этом надо и заканчивать, потому что предмета для обсуждения в нем нет вообще.
Вероятно, это для Supreme Being не подходит. Ему хочется оставить в силе понятие о пространстве и понятие о поверхности. Нет возражений даже против понятия размерности пространства - а это подразумевает как минимум наличие в нем топологии. Не говоря уже о математически простых и наиболее важных в прикладном техническом плане конечномерных линейных пространствах, где в наличии и метрика, и топология, и конечный базис, и уж подавно размерность. В этом пространстве прекрасно задаются многообразия - они же, грубо говоря, поверхности, как удобнее говорить технарю. Но тогда компромисс невозможен - невозможно ввести в рассмотрение евклидово пространство, имеющее размерность, и при этом отрицать в нем наличие поверхностей со своей размерностью, отличной от размерности пространства! Это никак невозможно - потому что как только мы ввели математический объект (множество некоторых точек) в обиход и аксиоматически задали его свойства (линейность, топологию, метрику), дальше он начинает жить своей жизнью. Из одних свойств с необходимостью вытекают другие, в связи с объектом естественным образом возникают другие объекты и т.д.
Кроме того, диктуют свои правила и прикладные нужды. Если в качестве математической модели для прикладной задачи нужна поверхность - извольте смириться с фактом, что у этой поверхности есть размерность. Тем более, что на практике поверхности задаются, например, аналитически - уравнениями, а уж имея в руках уравнения, размерность вычисляем мгновенно. Трудно, знаете ли, иметь перед глазами систему уравнений и не уметь посчитать в ней количество уравнений и количество переменных.
Теперь о "пространстве прямых". Оппонента, очевидно, очаровало приводимое им высказывание о том, что плоскость может быть представлена как множество прямых, окружностей, парабол и других кривых, и в связи с этим она будет якобы иметь такую размерность, сколько коэффициентов в уравнениях этих кривых. То есть произвольную. Но это - сваливание разных понятий в одну кучу.
Множество прямых на плоскости не тождественно этой плоскости ни формально, ни технически. Оно кажется тождественным только на интуитивно-физическом уровне. Но эту тождественность опровергает как математический формализм, так и практические потребности математика-прикладника. С формальной точки зрения это совершенно другое множество с совершенно другими свойствами. Чтобы называть его пространством, нужно еще проверить, будет ли оно таковым по той аксиоматике, которую мы вводим для пространства. Ну, пусть даже будет. То, что оно имеет другую размерность, чем плоскость - вполне естественно, так как это два разных множества. Они состоят из разных элементарных объектов: евклидова плоскость - из точек (в геометрическом понимании), пространство прямых - из прямых. Они изоморфны разным числовым пространствам. Интуитивно-физическое восприятие их как одного и того же объекта - неверно. Но не только формально неверно, а еще и бесполезно в руках инженера.
Ладно, пусть мы приняли к использованию математическую модель плоскости как множества прямых. Тогда как нам работать с точками этой плоскости как евклидового пространства? Как определить расстояние между этими точками? Ведь метрика в пространстве прямых совершенно другая, чем в пространстве точек. Как работать с другими кривыми на плоскости, как выразить их через элементы и операции пространства прямых? Все это мгновенно заставляет отказаться от пространства прямых как от прикладной модели и вернуться к евклидовому пространству, где есть и точки, и расстояния между ними, и прямые, и кривые как многообразия в этом пространстве. Тогда все размерности встают на свои места.
Поэтому цитируемое высказывание о произвольности размерности плоскости совершенно некорректно, и как аргумент его приводить совершенно неуместно. Плоскость как евклидово пространство имеет размерность два, и как линейное многообразие в евклидовом пространстве любой размерности оно тоже имеет размерность два. Это совершенно не зависит ни от вложения в пространство, ни от того, кривые какого порядка присутствуют на самой этой плоскости. Можно нарисовать кривые какого угодно порядка, и согласно цитируемой логике плоскость вдруг станет бесконечномерным пространством. Такой логике - грош цена.
Так что А.Т.Фоменко, будучи доктором физ-мат. наук, знал, что он говорил, говоря о поверхностях высокой размерности. Даже в рамках линейных конечномерных пространств это совершенно корректное и математически обоснованное выражение.
Dixi
|
в материале) и за тысячелетие уже ничего нельзя определить с приемлемой точностью по органическим материалам. Космические ритмы вращения луны вокруг земли и земли вокруг солнца так же могут обмануть. Нет никакой гарантии, что вблизи орбиты луны 1000 лет назад не пролетел крупный астероид и заметно изменил (достаточно на тысячную долю процента) период обращения Луны. Тогда при интерпретации лунного или солнечного затмения 2000 лет назад мы не сможем правильно датировать это событие.
Ну понятно, конечно, что Фоменко для историков - это типа как 
. Он имеет размерность два или один? И, кстати, что такое параметр (формально)?