Почти разобрался...
Если

-- координаты на сфере, а

-- координаты проекции на плоскости, то имеем следующие соотношения:


Пусть

и

. Якобианы этих отображений имеют вид:


Определитель композиции якобианов равен

.
Не до конца ещё очевидна неориентируемость

при нечётных

. В интернете нашёл, что это следует из того, что антиподальное отображение на сфере чётной размерности сохраняет ориентацию, а на нечётномерной изменяет. Но как это можно понять? Похоже что это связано со степенью антиподального отображения, но мне всё ещё неочевидно.
-- 07.04.2016, 01:03 --Даже вот так можно пересчитать.
Пусть

-- координаты при проекции из северного полюса,

-- из южного. Тогда они связаны соотношениями

и

.

Как понять неориентируемость чётномерных вещественных проективных пространств?