2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


Посмотреть правила форума



Начать новую тему Ответить на тему На страницу Пред.  1, 2
 
 Re: Как доказать, что сумма равна 0
Сообщение03.04.2016, 22:46 
Заслуженный участник


14/10/14
1220
Для любого - не получится, а при условии $l$ целое, $0\leqslant l < n$ - получится. Хоть что-то :D

-- 03.04.2016, 23:47 --

(Оффтоп)

Можно разностями.

Пусть $\Delta$ - оператор, который действует на последовательность $p_n$, возвращая её первые разности $\Delta p_n = p_{n+1}-p_{n}$. Его можно применять несколько раз, получая операторы $\Delta\Delta=\Delta^2, \Delta\Delta\Delta=\Delta^3$ и т. д. ($\Delta^2$ возвращает вторые разности: $\Delta^2p_n=\Delta(\Delta p_n)=\Delta p_{n+1}-\Delta p_n=(p_{n+2}-p_{n+1})-(p_{n+1}-p_n)$ - таким же образом $\Delta^3$ возвращает третьи разности и т. д.)

Штука в том, что то выражение представляет собой $n$-е разности некоторого многочлена - а известно, что у многочлена $n$-й степени $n$-е разности постоянны и, соответственно, $n+1$-е зануляются.

Пример для многочлена $p_n=n^2$:

$ \begin{tabular}{l|llllllllll}
\text{Квадраты} & 1 &   & 4 &   & 9 &   & 16 &   & 25\\
\text{Первые разности}&    & 3 &   & 5 &   & 7 &   & 9 &   \\
\text{Вторые разности}&    &   & 2 &   & 2 &   & 2 &   &   \\
\end{tabular} $

Как понять, что это $n$-е разности? А очень просто!

Введём ещё оператор сдвига на единицу $\operatorname{E}$ таким образом, что $\operatorname{E}p_n=p_{n+1}$: тогда $\Delta=\operatorname{E}-1$, и, соответственно, $\Delta^n=(\operatorname{E}-1)^n=\sum\limits_{i=0}^{n}C_n^i(-1)^{n-i}\operatorname{E}^i$, а $\operatorname{E}^i$ - это просто оператор сдвига на $i$.

Осталось строго обосновать этот символический вывод, а также сообразить, какой многочлен скормить этому оператору.

 Профиль  
                  
 
 Re: Как доказать, что сумма равна 0
Сообщение03.04.2016, 22:55 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


01/03/06
13626
Москва

(Оффтоп)

Техника, показанная уважаемым Slav-27 в оффтопе, подробно разобрана, например, в монографии Грэхем, Кнут, Поташник Конкретная математика.

 Профиль  
                  
 
 Re: Как доказать, что сумма равна 0
Сообщение03.04.2016, 23:18 


06/09/15
44
Не, ребят, тут все должно быть гораздо проще. Давайте я озвучу полную задачу и как я получил подзадачу. Есть большая вероятность, что я просто потерял навык которым обладал, когда учился на 1х курсах. Наверное, я ввел всех в заблуждение. Вот полная задача:
Задача из задачника Л.Д. Кудрявцев, А.Д. Кутасов, В.И. Чехлов, М.И. Шабунин
Гл. Введение Задача 4
Доказать, что если последовательность является арифметической прогрессией, то при любом n>=3 и любом к справедливо равенство
$
a_1^k-C_n^1 a_2^k+C_n^2 a_3^k+\cdots+(-1)^nC_n^n a_{n+1}^k=0
$
Попытался свернуть немного:
$(1+p)^l = \sum\limits_{k=0}^l C_l^k p^k$
домножим слева и справа и проссумируем:
$\sum\limits_{p=0}^n (-1)^p C_n^p (1+p)^l = \sum\limits_{p=0}^n (-1)^p C_n^p \sum\limits_{k=0}^l C_l^k p^k = \sum\limits_{k=0}^l C_l^k \sum\limits_{p=0}^n ((-1)^p C_n^p p^k) $
Вот собственно как я свел к этой подзадаче, но возможно, есть другие варианты.

-- 04.04.2016, 00:19 --

Brukvalub в сообщении #1111943 писал(а):

(Оффтоп)

Техника, показанная уважаемым Slav-27 в оффтопе, подробно разобрана, например, в монографии Грэхем, Кнут, Поташник Конкретная математика.

Да разнуры были у нас когда-то, но я сейчас не помню и пока не нужно. Хочется решить "простым" методом - смекалкой.

 Профиль  
                  
 
 Re: Как доказать, что сумма равна 0
Сообщение03.04.2016, 23:26 
Заслуженный участник


27/04/09
28128
del. Проворонил степени.

 Профиль  
                  
 
 Re: Как доказать, что сумма равна 0
Сообщение03.04.2016, 23:26 


06/09/15
44
StaticZero в сообщении #1111929 писал(а):
Slav-27 в сообщении #1111928 писал(а):
А у меня работает :shock:


Простите, позволю себе самоцитирование.
StaticZero в сообщении #1111918 писал(а):
Рассмотрим произвольное $l \ne 0$ при $n = 3$. Имеем
$$ -3 \cdot 1 + 3 \cdot 2^l - 3^l = 3 (2^l - 3^{l - 1} - 1). $$


Едва ли скобка — тождественный ноль.

Если цифры для l - (натуралные) подставлять, то можно убедиться, что оно работает для 1,2,3. Смею предположить, что и для произвольного работает.

 Профиль  
                  
 
 Re: Как доказать, что сумма равна 0
Сообщение03.04.2016, 23:32 
Заслуженный участник


27/04/09
28128
Покажите, как оно работает для $l=3$.

 Профиль  
                  
 
 Re: Как доказать, что сумма равна 0
Сообщение03.04.2016, 23:33 


06/09/15
44
arseniiv в сообщении #1111953 писал(а):
del. Проворонил степени.

Именно, а так бы получилось весело и скучно, а не боль-мозг.

 Профиль  
                  
 
 Re: Как доказать, что сумма равна 0
Сообщение03.04.2016, 23:33 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


01/03/06
13626
Москва
math.fi в сообщении #1111954 писал(а):
Если цифры для l - (натуралные) подставлять, то можно убедиться, что оно работает для 1,2,3. Смею предположить, что и для произвольного работает.
Устремите $ l \to\infty$ , тоже работает? :D

 Профиль  
                  
 
 Re: Как доказать, что сумма равна 0
Сообщение03.04.2016, 23:40 


06/09/15
44
arseniiv в сообщении #1111956 писал(а):
Покажите, как оно работает для $l=3$.
Да, я ошибся. Только пока не знаю где.
Такие выкладки получаются, если подставить в задачу
$a_{n+1} = a_1 +nd $

-- 04.04.2016, 01:06 --

В общем вот так вот:
$
S_n = \sum\limits_{p=0}^n C_n^p (-1)^p a_{p+1}^l = \sum\limits_{p=0}^n C_n^p (-1)^p (a_1 + pd)^l = \\
\sum\limits_{p=0}^n C_n^p (-1)^p \sum\limits_{k=0}^l a_1^{l-k} p^k d^k = \\
\sum\limits_{k=0}^l C_l^k a_1^{l-k} d^k \sum\limits_{p=0}^n  (-1)^p  p^k 
$

 Профиль  
                  
 
 Re: Как доказать, что сумма равна 0
Сообщение04.04.2016, 01:04 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


22/06/12
2129
/dev/zero
Пожалуй, выскажусь насчёт изначального утверждения. Если с моей стороны это неправильно, прошу извинить.

(Спойлер)

Рассмотрим выражение
$$
P(n, m) = \sum \limits_{k = 0}^n (-1)^k \mathrm C_n^k k^m,
$$
где $m$ — целочисленный параметр с ограничениями $0 \leqslant m \leqslant n - 1$. Случай $m = 0$ очевиден; рассмотрим случаи $m > 0$. Преобразуйте выражение к виду
$$
P(n, m) = -n \sum \limits_{p = 0}^{m - 1} \mathrm C_{m - 1}^{p} P(n - 1, p).
$$
Это выражение представляет собой индукционный (по $n$) переход. Остаётся лишь правильно им воспользоваться.

 Профиль  
                  
 
 Re: Как доказать, что сумма равна 0
Сообщение04.04.2016, 01:44 
Заслуженный участник


27/04/09
28128
math.fi в сообщении #1111961 писал(а):
В общем вот так вот:
$
S_n = \sum\limits_{p=0}^n C_n^p (-1)^p a_{p+1}^l = \sum\limits_{p=0}^n C_n^p (-1)^p (a_1 + pd)^l = \\
\sum\limits_{p=0}^n C_n^p (-1)^p \sum\limits_{k=0}^l a_1^{l-k} p^k d^k = \\
\sum\limits_{k=0}^l C_l^k a_1^{l-k} d^k \sum\limits_{p=0}^n  (-1)^p  p^k 
$
В последних двух выражениях то один, то другой биномиальный коэффициент отсутствуют, кстати говоря.

 Профиль  
                  
 
 Re: Как доказать, что сумма равна 0
Сообщение04.04.2016, 09:32 


06/09/15
44
arseniiv в сообщении #1111988 писал(а):
math.fi в сообщении #1111961 писал(а):
В общем вот так вот:
$
S_n = \sum\limits_{p=0}^n C_n^p (-1)^p a_{p+1}^l = \sum\limits_{p=0}^n C_n^p (-1)^p (a_1 + pd)^l = \\
\sum\limits_{p=0}^n C_n^p (-1)^p \sum\limits_{k=0}^l a_1^{l-k} p^k d^k = \\
\sum\limits_{k=0}^l C_l^k a_1^{l-k} d^k \sum\limits_{p=0}^n  (-1)^p  p^k 
$
В последних двух выражениях то один, то другой биномиальный коэффициент отсутствуют, кстати говоря.

Прошу прощения, по невнимательности, конечно, я случайно опустил эти коэффициенты при копировании:
$
S_n = \sum\limits_{p=0}^n C_n^p (-1)^p a_{p+1}^l = \sum\limits_{p=0}^n C_n^p (-1)^p (a_1 + pd)^l = \\
\sum\limits_{p=0}^n C_n^p (-1)^p \sum\limits_{k=0}^l a_1^{l-k} C_n^p p^k d^k = \\
\sum\limits_{k=0}^l C_l^k a_1^{l-k} d^k \sum\limits_{p=0}^n  (-1)^p C_n^p p^k 
$

 Профиль  
                  
 
 Re: Как доказать, что сумма равна 0
Сообщение04.04.2016, 18:56 


03/06/12
2868
math.fi в сообщении #1111951 писал(а):
Доказать, что если последовательность является арифметической прогрессией, то при любом n>=3 и любом к справедливо равенство
$
a_1^k-C_n^1 a_2^k+C_n^2 a_3^k+\cdots+(-1)^nC_n^n a_{n+1}^k=0
$

Так, соображение на скорую руку. Если $d$ - разность прогрессии, то после раскрытия скобок коэффициент при $a_{1}^{k-j}d^{j}$ будет равен значению производной порядка $j$ функции $(1-e^{x})^{n}$ в точке $x_0=0$.

 Профиль  
                  
 
 Re: Как доказать, что сумма равна 0
Сообщение04.04.2016, 20:17 
Заслуженный участник


14/10/14
1220
math.fi
Хочется обратить внимание две вещи.
1) Думаю, вы это уже поняли, но всё-таки: с вашими изначальными условиями -- для любого, хоть бы даже и натурального, $l$ -- ничего не получится, ибо утверждение неверно.

2)
math.fi в сообщении #1111951 писал(а):
Да разнуры были у нас когда-то, но я сейчас не помню и пока не нужно. Хочется решить "простым" методом - смекалкой.
Чем вам не нравятся разности? Решение через разности, по-моему, не сложнее, чем то, что вы уже в этой теме успели написать. Заметьте, что это решение я уже написал выше (осталось несколько слов прибавить). При этом оно очевидно обобщается для случая любой арифметической прогрессии, а не только $a_n=n.$

Ну или индукцию уже примените, как тут предлагают.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 29 ]  На страницу Пред.  1, 2

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group