2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


Посмотреть правила форума



Начать новую тему Ответить на тему На страницу 1, 2  След.
 
 Как доказать, что сумма равна 0
Сообщение03.04.2016, 20:07 


06/09/15
44
Как доказать, что $\sum\limits_{p=0}^n (-1)^p C_{n}^p p^l = 0$
Тут нужно как-то учесть тот факт, что $(1-1)=\sum\limits_{p=0}^n (-1)^p C_{n}^p =0 $, но не понятно как.

 Профиль  
                  
 
 Re: Как доказать, что сумма равна 0
Сообщение03.04.2016, 20:16 
Заслуженный участник


25/02/11
1796
Надо бы добавить, что $l<n$. Попробуйте рассмотреть $(1-x)^n$ и получить для начала равенство сначала для $l=0$, а затем (пользуясь матанализом) для $l=1$.

 Профиль  
                  
 
 Re: Как доказать, что сумма равна 0
Сообщение03.04.2016, 20:30 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


01/03/06
13626
Москва
math.fi в сообщении #1111869 писал(а):
Тут нужно как-то учесть тот факт, что $(1-1)=\sum\limits_{p=0}^n (-1)^p C_{n}^p =0 $, но не понятно как.

Это верная формула, но еще более бессмысленная, чем верная. :D

 Профиль  
                  
 
 Re: Как доказать, что сумма равна 0
Сообщение03.04.2016, 20:43 


06/09/15
44
Brukvalub в сообщении #1111877 писал(а):
math.fi в сообщении #1111869 писал(а):
Тут нужно как-то учесть тот факт, что $(1-1)=\sum\limits_{p=0}^n (-1)^p C_{n}^p =0 $, но не понятно как.

Это верная формула, но еще более бессмысленная, чем верная. :D
Бессмысленность этой формулы придает значимость другим формулам.

 Профиль  
                  
 
 Re: Как доказать, что сумма равна 0
Сообщение03.04.2016, 21:38 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


22/06/12
2129
/dev/zero
math.fi в сообщении #1111869 писал(а):
учесть тот факт, что $(1-1)=\sum\limits_{p=0}^n (-1)^p C_{n}^p =0 $, но не понятно как.


(Более прямая подсказка)

Подумайте, как соотносятся меж собой числа $\mathrm C^k_{n + 1}$ и $\mathrm C^{k-1}_n$.

 Профиль  
                  
 
 Re: Как доказать, что сумма равна 0
Сообщение03.04.2016, 22:07 


03/06/12
2862
math.fi в сообщении #1111869 писал(а):
Как доказать, что $\sum\limits_{p=0}^n (-1)^p C_{n}^p p^l = 0$

Если не делать никаких оговорок относительно $n$, то формула неверна: проверьте ее для того же $n=1$. С оговорками пока не знаю. А правда, что там известно про $l$ ? Уж слишком она произвольная. И откуда задача, не из комбинаторики?

 Профиль  
                  
 
 Re: Как доказать, что сумма равна 0
Сообщение03.04.2016, 22:13 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


22/06/12
2129
/dev/zero
Sinoid в сообщении #1111914 писал(а):
А правда, что там известно про $l$ ?


Формула верна лишь при $l = 0$ или $l = 1$. Первое тривиально, потому думается, что имеется ввиду последнее.

Ясно, что для верности формулы необходимо $n \geqslant 2$, по этому поводу можно не беспокоиться.

(Оффтоп)

Рассмотрим произвольное $l \ne 0$ при $n = 3$. Имеем
$$ -3 \cdot 1 + 3 \cdot 2^l - 3^l = 3 (2^l - 3^{l - 1} - 1). $$

 Профиль  
                  
 
 Re: Как доказать, что сумма равна 0
Сообщение03.04.2016, 22:16 


06/09/15
44
Sinoid в сообщении #1111914 писал(а):
math.fi в сообщении #1111869 писал(а):
Как доказать, что $\sum\limits_{p=0}^n (-1)^p C_{n}^p p^l = 0$

Если не делать никаких оговорок относительно $n$, то формула неверна: проверьте ее для того же $n=1$. С оговорками пока не знаю. А правда, что там известно про $l$ ? Уж слишком она произвольная. И откуда задача, не из комбинаторики?

На самом деле это подзадача к которой сведена другая задача.
Уточнение n>=3 l -любое.

 Профиль  
                  
 
 Re: Как доказать, что сумма равна 0
Сообщение03.04.2016, 22:20 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


22/06/12
2129
/dev/zero
math.fi в сообщении #1111919 писал(а):
l -любое


Для $n = 3$, вроде бы, не работает.

 Профиль  
                  
 
 Re: Как доказать, что сумма равна 0
Сообщение03.04.2016, 22:23 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


01/03/06
13626
Москва
StaticZero в сообщении #1111924 писал(а):
Для $n = 3$, вроде как, не работает.
И для прочих $n>3$ не работает. :D

 Профиль  
                  
 
 Re: Как доказать, что сумма равна 0
Сообщение03.04.2016, 22:24 
Заслуженный участник


14/10/14
1220
Vince Diesel в сообщении #1111873 писал(а):
Надо бы добавить, что $l<n$.
И что $l$ целое.

StaticZero в сообщении #1111924 писал(а):
Для $n = 3$, вроде бы, не работает.
А у меня работает :shock:

StaticZero в сообщении #1111918 писал(а):
Формула верна лишь при $l = 0$ или $l = 1$.
Да не только же?..

 Профиль  
                  
 
 Re: Как доказать, что сумма равна 0
Сообщение03.04.2016, 22:26 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


22/06/12
2129
/dev/zero
Slav-27 в сообщении #1111928 писал(а):
А у меня работает :shock:


Простите, позволю себе самоцитирование.
StaticZero в сообщении #1111918 писал(а):
Рассмотрим произвольное $l \ne 0$ при $n = 3$. Имеем
$$ -3 \cdot 1 + 3 \cdot 2^l - 3^l = 3 (2^l - 3^{l - 1} - 1). $$


Едва ли скобка — тождественный ноль.

 Профиль  
                  
 
 Re: Как доказать, что сумма равна 0
Сообщение03.04.2016, 22:30 
Заслуженный участник


14/10/14
1220
StaticZero
Тут $n=3,$ следовательно надо брать натуральное $l<3$.

-- 03.04.2016, 23:31 --

Vince Diesel в сообщении #1111873 писал(а):
Надо бы добавить, что $l<n$.
Slav-27 в сообщении #1111928 писал(а):
И что $l$ целое.


-- 03.04.2016, 23:31 --

И положительное неотрицательное :)

 Профиль  
                  
 
 Re: Как доказать, что сумма равна 0
Сообщение03.04.2016, 22:34 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


22/06/12
2129
/dev/zero
Slav-27 в сообщении #1111931 писал(а):
Тут $n=3,$ следовательно надо брать натуральное $l<3$.

Безусловно, тут вы правы. Для $n = 4$ тоже работает при $l = 1, \ 2, \ 3$. Значит, будем искать с этими ограничениями, которые сначала, правда, не были объявлены.

 Профиль  
                  
 
 Re: Как доказать, что сумма равна 0
Сообщение03.04.2016, 22:40 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


01/03/06
13626
Москва
Slav-27 в сообщении #1111931 писал(а):
Тут $n=3,$ следовательно надо брать натуральное $l<3$.

math.fi в сообщении #1111919 писал(а):
На самом деле это подзадача к которой сведена другая задача.
Уточнение n>=3 l -любое.

$ l$ - любое, Карл, любое! :D

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 29 ]  На страницу 1, 2  След.

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: DariaRychenkova


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group