Как доказать, что сумма равна 0

[math.fi]

Как доказать, что $\sum\limits_{p=0}^n (-1)^p C_{n}^p p^l = 0$
Тут нужно как-то учесть тот факт, что $(1-1)=\sum\limits_{p=0}^n (-1)^p C_{n}^p =0 $, но не понятно как.

[Vince Diesel]

Надо бы добавить, что $l<n$. Попробуйте рассмотреть $(1-x)^n$ и получить для начала равенство сначала для $l=0$, а затем (пользуясь матанализом) для $l=1$.

[Brukvalub]

math.fi в сообщении #1111869 писал(а):

Тут нужно как-то учесть тот факт, что $(1-1)=\sum\limits_{p=0}^n (-1)^p C_{n}^p =0 $, но не понятно как.

Это верная формула, но еще более бессмысленная, чем верная.

[math.fi]

Brukvalub в сообщении #1111877 писал(а):

math.fi в сообщении #1111869 писал(а):

Тут нужно как-то учесть тот факт, что $(1-1)=\sum\limits_{p=0}^n (-1)^p C_{n}^p =0 $, но не понятно как.

Это верная формула, но еще более бессмысленная, чем верная.

Бессмысленность этой формулы придает значимость другим формулам.

[StaticZero]

math.fi в сообщении #1111869 писал(а):

учесть тот факт, что $(1-1)=\sum\limits_{p=0}^n (-1)^p C_{n}^p =0 $, но не понятно как.

(Более прямая подсказка)

Подумайте, как соотносятся меж собой числа $\mathrm C^k_{n + 1}$ и $\mathrm C^{k-1}_n$.

[Sinoid]

math.fi в сообщении #1111869 писал(а):

Как доказать, что $\sum\limits_{p=0}^n (-1)^p C_{n}^p p^l = 0$

Если не делать никаких оговорок относительно $n$, то формула неверна: проверьте ее для того же $n=1$. С оговорками пока не знаю. А правда, что там известно про $l$ ? Уж слишком она произвольная. И откуда задача, не из комбинаторики?

[StaticZero]

Sinoid в сообщении #1111914 писал(а):

А правда, что там известно про $l$ ?

Формула верна лишь при $l = 0$ или $l = 1$. Первое тривиально, потому думается, что имеется ввиду последнее.

Ясно, что для верности формулы необходимо $n \geqslant 2$, по этому поводу можно не беспокоиться.

(Оффтоп)

Рассмотрим произвольное $l \ne 0$ при $n = 3$. Имеем

$$ -3 \cdot 1 + 3 \cdot 2^l - 3^l = 3 (2^l - 3^{l - 1} - 1). $$

[math.fi]

Sinoid в сообщении #1111914 писал(а):

math.fi в сообщении #1111869 писал(а):

Как доказать, что $\sum\limits_{p=0}^n (-1)^p C_{n}^p p^l = 0$

Если не делать никаких оговорок относительно $n$, то формула неверна: проверьте ее для того же $n=1$. С оговорками пока не знаю. А правда, что там известно про $l$ ? Уж слишком она произвольная. И откуда задача, не из комбинаторики?

На самом деле это подзадача к которой сведена другая задача.
Уточнение n>=3 l -любое.

[StaticZero]

math.fi в сообщении #1111919 писал(а):

l -любое

Для $n = 3$, вроде бы, не работает.

[Brukvalub]

StaticZero в сообщении #1111924 писал(а):

Для $n = 3$, вроде как, не работает.

И для прочих $n>3$ не работает.

[Slav-27]

Vince Diesel в сообщении #1111873 писал(а):

Надо бы добавить, что $l<n$.

И что $l$ целое.

StaticZero в сообщении #1111924 писал(а):

Для $n = 3$, вроде бы, не работает.

А у меня работает

StaticZero в сообщении #1111918 писал(а):

Формула верна лишь при $l = 0$ или $l = 1$.

Да не только же?..

[StaticZero]

Slav-27 в сообщении #1111928 писал(а):

А у меня работает

Простите, позволю себе самоцитирование.

StaticZero в сообщении #1111918 писал(а):

Рассмотрим произвольное $l \ne 0$ при $n = 3$. Имеем

$$ -3 \cdot 1 + 3 \cdot 2^l - 3^l = 3 (2^l - 3^{l - 1} - 1). $$

Едва ли скобка — тождественный ноль.

[Slav-27]

StaticZero
Тут $n=3,$ следовательно надо брать натуральное $l<3$.

-- 03.04.2016, 23:31 --

Vince Diesel в сообщении #1111873 писал(а):

Надо бы добавить, что $l<n$.

Slav-27 в сообщении #1111928 писал(а):

И что $l$ целое.

-- 03.04.2016, 23:31 --

И положительное неотрицательное :)

[StaticZero]

Slav-27 в сообщении #1111931 писал(а):

Тут $n=3,$ следовательно надо брать натуральное $l<3$.

Безусловно, тут вы правы. Для $n = 4$ тоже работает при $l = 1, \ 2, \ 3$. Значит, будем искать с этими ограничениями, которые сначала, правда, не были объявлены.

[Brukvalub]

Slav-27 в сообщении #1111931 писал(а):

Тут $n=3,$ следовательно надо брать натуральное $l<3$.

math.fi в сообщении #1111919 писал(а):

На самом деле это подзадача к которой сведена другая задача.
Уточнение n>=3 l -любое.

$ l$ - любое, Карл, любое!