2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


Посмотреть правила форума



Начать новую тему Ответить на тему На страницу 1, 2  След.
 
 Как доказать, что сумма равна 0
Сообщение03.04.2016, 20:07 


06/09/15
44
Как доказать, что $\sum\limits_{p=0}^n (-1)^p C_{n}^p p^l = 0$
Тут нужно как-то учесть тот факт, что $(1-1)=\sum\limits_{p=0}^n (-1)^p C_{n}^p =0 $, но не понятно как.

 Профиль  
                  
 
 Re: Как доказать, что сумма равна 0
Сообщение03.04.2016, 20:16 
Заслуженный участник


25/02/11
1797
Надо бы добавить, что $l<n$. Попробуйте рассмотреть $(1-x)^n$ и получить для начала равенство сначала для $l=0$, а затем (пользуясь матанализом) для $l=1$.

 Профиль  
                  
 
 Re: Как доказать, что сумма равна 0
Сообщение03.04.2016, 20:30 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


01/03/06
13626
Москва
math.fi в сообщении #1111869 писал(а):
Тут нужно как-то учесть тот факт, что $(1-1)=\sum\limits_{p=0}^n (-1)^p C_{n}^p =0 $, но не понятно как.

Это верная формула, но еще более бессмысленная, чем верная. :D

 Профиль  
                  
 
 Re: Как доказать, что сумма равна 0
Сообщение03.04.2016, 20:43 


06/09/15
44
Brukvalub в сообщении #1111877 писал(а):
math.fi в сообщении #1111869 писал(а):
Тут нужно как-то учесть тот факт, что $(1-1)=\sum\limits_{p=0}^n (-1)^p C_{n}^p =0 $, но не понятно как.

Это верная формула, но еще более бессмысленная, чем верная. :D
Бессмысленность этой формулы придает значимость другим формулам.

 Профиль  
                  
 
 Re: Как доказать, что сумма равна 0
Сообщение03.04.2016, 21:38 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


22/06/12
2129
/dev/zero
math.fi в сообщении #1111869 писал(а):
учесть тот факт, что $(1-1)=\sum\limits_{p=0}^n (-1)^p C_{n}^p =0 $, но не понятно как.


(Более прямая подсказка)

Подумайте, как соотносятся меж собой числа $\mathrm C^k_{n + 1}$ и $\mathrm C^{k-1}_n$.

 Профиль  
                  
 
 Re: Как доказать, что сумма равна 0
Сообщение03.04.2016, 22:07 


03/06/12
2864
math.fi в сообщении #1111869 писал(а):
Как доказать, что $\sum\limits_{p=0}^n (-1)^p C_{n}^p p^l = 0$

Если не делать никаких оговорок относительно $n$, то формула неверна: проверьте ее для того же $n=1$. С оговорками пока не знаю. А правда, что там известно про $l$ ? Уж слишком она произвольная. И откуда задача, не из комбинаторики?

 Профиль  
                  
 
 Re: Как доказать, что сумма равна 0
Сообщение03.04.2016, 22:13 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


22/06/12
2129
/dev/zero
Sinoid в сообщении #1111914 писал(а):
А правда, что там известно про $l$ ?


Формула верна лишь при $l = 0$ или $l = 1$. Первое тривиально, потому думается, что имеется ввиду последнее.

Ясно, что для верности формулы необходимо $n \geqslant 2$, по этому поводу можно не беспокоиться.

(Оффтоп)

Рассмотрим произвольное $l \ne 0$ при $n = 3$. Имеем
$$ -3 \cdot 1 + 3 \cdot 2^l - 3^l = 3 (2^l - 3^{l - 1} - 1). $$

 Профиль  
                  
 
 Re: Как доказать, что сумма равна 0
Сообщение03.04.2016, 22:16 


06/09/15
44
Sinoid в сообщении #1111914 писал(а):
math.fi в сообщении #1111869 писал(а):
Как доказать, что $\sum\limits_{p=0}^n (-1)^p C_{n}^p p^l = 0$

Если не делать никаких оговорок относительно $n$, то формула неверна: проверьте ее для того же $n=1$. С оговорками пока не знаю. А правда, что там известно про $l$ ? Уж слишком она произвольная. И откуда задача, не из комбинаторики?

На самом деле это подзадача к которой сведена другая задача.
Уточнение n>=3 l -любое.

 Профиль  
                  
 
 Re: Как доказать, что сумма равна 0
Сообщение03.04.2016, 22:20 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


22/06/12
2129
/dev/zero
math.fi в сообщении #1111919 писал(а):
l -любое


Для $n = 3$, вроде бы, не работает.

 Профиль  
                  
 
 Re: Как доказать, что сумма равна 0
Сообщение03.04.2016, 22:23 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


01/03/06
13626
Москва
StaticZero в сообщении #1111924 писал(а):
Для $n = 3$, вроде как, не работает.
И для прочих $n>3$ не работает. :D

 Профиль  
                  
 
 Re: Как доказать, что сумма равна 0
Сообщение03.04.2016, 22:24 
Заслуженный участник


14/10/14
1220
Vince Diesel в сообщении #1111873 писал(а):
Надо бы добавить, что $l<n$.
И что $l$ целое.

StaticZero в сообщении #1111924 писал(а):
Для $n = 3$, вроде бы, не работает.
А у меня работает :shock:

StaticZero в сообщении #1111918 писал(а):
Формула верна лишь при $l = 0$ или $l = 1$.
Да не только же?..

 Профиль  
                  
 
 Re: Как доказать, что сумма равна 0
Сообщение03.04.2016, 22:26 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


22/06/12
2129
/dev/zero
Slav-27 в сообщении #1111928 писал(а):
А у меня работает :shock:


Простите, позволю себе самоцитирование.
StaticZero в сообщении #1111918 писал(а):
Рассмотрим произвольное $l \ne 0$ при $n = 3$. Имеем
$$ -3 \cdot 1 + 3 \cdot 2^l - 3^l = 3 (2^l - 3^{l - 1} - 1). $$


Едва ли скобка — тождественный ноль.

 Профиль  
                  
 
 Re: Как доказать, что сумма равна 0
Сообщение03.04.2016, 22:30 
Заслуженный участник


14/10/14
1220
StaticZero
Тут $n=3,$ следовательно надо брать натуральное $l<3$.

-- 03.04.2016, 23:31 --

Vince Diesel в сообщении #1111873 писал(а):
Надо бы добавить, что $l<n$.
Slav-27 в сообщении #1111928 писал(а):
И что $l$ целое.


-- 03.04.2016, 23:31 --

И положительное неотрицательное :)

 Профиль  
                  
 
 Re: Как доказать, что сумма равна 0
Сообщение03.04.2016, 22:34 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


22/06/12
2129
/dev/zero
Slav-27 в сообщении #1111931 писал(а):
Тут $n=3,$ следовательно надо брать натуральное $l<3$.

Безусловно, тут вы правы. Для $n = 4$ тоже работает при $l = 1, \ 2, \ 3$. Значит, будем искать с этими ограничениями, которые сначала, правда, не были объявлены.

 Профиль  
                  
 
 Re: Как доказать, что сумма равна 0
Сообщение03.04.2016, 22:40 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


01/03/06
13626
Москва
Slav-27 в сообщении #1111931 писал(а):
Тут $n=3,$ следовательно надо брать натуральное $l<3$.

math.fi в сообщении #1111919 писал(а):
На самом деле это подзадача к которой сведена другая задача.
Уточнение n>=3 l -любое.

$ l$ - любое, Карл, любое! :D

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 29 ]  На страницу 1, 2  След.

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group