Континуум-гипотеза решена?

[provincialka]

m_kristy в сообщении #1111169 писал(а):

Теперь стало понятно что такое риманова геометрия и геометрия Лобачевского.

Совсем-совсем понятно? Ну... немного может быть ещё надо поразбираться

[Anton_Peplov]

m_kristy
Заходите еще. На чай. У Вас красивые запястья, и голос звучит восхитительно.

[m_kristy]

(Оффтоп)

Anton_Peplov в сообщении #1111174 писал(а):

m_kristy
Заходите еще. На чай. У Вас красивые запястья, и голос звучит восхитительно.

Эм... ладно...

[Someone]

Anton_Peplov в сообщении #1111157 писал(а):

Об это противоречие математики здорово стукнулись лбом. Кантор к тому времени уже привык использовать множество всех множеств в хвост и в гриву (удобное же, как казалось, понятие!)

Э-э-э… А ссылочку на труды Кантора можно? А то я кое-что читал (в русском переводе, естественно), и не обратил на это внимания.

[Anton_Peplov]

Someone
Порывшись в голове и текстах, снимаю утверждение, что Кантор широко пользовался множеством всех множеств. Такого нигде не написано. Что он его рассмотрел - написано, что он же обнаружил противоречие - написано, а вот как скоро обнаружил и насколько широко пользовался - ни слова нет. Видимо, информация исказилась в моей памяти.
Но про двухтомник Фреге - это было, точно было. Известная история.

[sergei1961]

"Может, если изобретут какую-то другую систему аксиом, то проблему реанимируют - но это будет уже другая проблема." Давно изобрели-аксиома детерминированности, при ней между ничего нет. И других вариантов миллион.

[Someone]

Anton_Peplov в сообщении #1111287 писал(а):

Но про двухтомник Фреге - это было, точно было. Известная история.

Я Фреге не читал, но, насколько я знаю, у него была неограниченная аксиома свёртывания, разрешавшая образование множества $\{x:\Phi(x)\}$ для любого высказывания $\Phi(x)$. Из этой аксиомы получить множество всех множеств — плёвое дело.

[epros]

Anton_Peplov в сообщении #1111174 писал(а):

m_kristy
Заходите еще. На чай. У Вас красивые запястья, и голос звучит восхитительно.

Anton_Peplov, а можно я слегка разрушу Ваш педагогический Эдем посредством задавания каверзных вопросов? Так сказать, не корысти ради, а для приближения к осознанию того факта, что мир сложнее, чем любые наши представления о нём...

Вот есть такая штука, как логика второго порядка. От привычной нам логики первого порядка она отличается тем, что в ней допустимы не только предикатные и функциональные константы, но также предикатные и функциональные переменные. А это значит, что можно, например, поставить квантор не только на объекте, но и на свойстве ("для любого свойства натуральных чисел...", - и т.п.). Поскольку теория множеств в основном нужна для того, чтобы сопоставлять свойствам множества (например: свойство чётность - множество чётных чисел) и таким образом превращать свойства в объекты теории, то некоторые (насколько я помню, это был Куайн) даже характеризуют логику второго порядка как "теорию множеств в овечьей шкуре".

Это была преамбула, а теперь, собственно, амбула. Так вот, в этой самой логике второго порядка, оказывается, можно выразить эту самую континуум-гипотезу в виде утверждения языка. Т.е. не нужно вводить никаких дополнительных понятий (вместе с определяющими их аксиомами) - чем, собственно, и занимаются разные аксиоматики теорий множеств, типа ZFC, а вот прямо так, из уже существующих в языке символов объектных и предикатных переменных и проч. - берём и конструируем синтаксически правильное утверждение. А поскольку в классической логике существует такая штука, как закон исключённого третьего, любое синтаксически правильное утверждение является либо истинным, либо ложным. Пока речь была о придуманных нами понятиях (типа понятия "множества"), мы могли считать, что неразрешимость какого-либо вопроса об этом понятии является недостатком придуманной нами аксиоматики. Т.е. мы имеем право ответить на этот вопрос любым нравящимся нам способом и добавить данный ответ в качестве новой аксиомы. Но здесь нет никакой прикладной аксиоматики! Только "чистая" логика. И эта "чистая" логика говорит нам, что континуум-гипотеза "на самом деле" либо истинна, либо ложна. А это значит, что если нам, хочется, например, считать континуум-гипотезу истинной и мы добавляем соответствующую аксиому, то вполне может оказаться, что "на самом деле" формальная система стала противоречивой (хотя возможно, что доказать противоречие мы никогда не сможем).

Как же быть?

[Anton_Peplov]

epros в сообщении #1111522 писал(а):

Как же быть?

Уточнить используемые термины.
Результат Геделя и Коэна обычно формулируется так: "из аксиом ZFC невозможно вывести ни существование, ни несуществование множества промежуточной мощности". Давайте укажем, с помощью какой логики его невозможно вывести.

[epros]

Anton_Peplov в сообщении #1111535 писал(а):

Результат Геделя и Коэна обычно формулируется так: "из аксиом ZFC невозможно вывести ни существование, ни несуществование множества промежуточной мощности". Давайте укажем, с помощью какой логики его невозможно вывести.

Формально, эта формулировка уже содержит ответ, ибо ZFC - теория первого порядка. Однако логика второго порядка, увы, с этим выводом тоже не поможет.

[Anton_Peplov]

epros в сообщении #1111543 писал(а):

Однако логика второго порядка, увы, с этим выводом тоже не поможет.

Это доказано?

[epros]

Anton_Peplov в сообщении #1111546 писал(а):

epros в сообщении #1111543 писал(а):

Однако логика второго порядка, увы, с этим выводом тоже не поможет.

Это доказано?

Вроде бы как да. Хотя прямо сейчас источники вряд ли смогу Вам накопать. Но именно этим примером (неразрешимости континуум-гипотезы) обосновывается известный факт неполноты классического исчисления предикатов второго порядка (полнота исчисления предикатов первого порядка, как известно, была доказана Гёделем).

[Anton_Peplov]

Таким образом, получается такая картинка. В классической логике второго порядка континуум-гипотеза выразима и, следовательно, верна или не верна. Однако не опровержима и не доказуема.
Поэтому, взяв содержательные (не логические) аксиомы ZFC и используя классическую логику второго порядка, мы можем:
1) добавить к ZFC аксиому "множества промежуточной мощности не существует" и получить теорию ZFC1.
2) добавить к ZFC аксиому "множество промежуточной мощности существует" и получить теорию ZFC2.
Обе этих теории будут обладать простой непротиворечивостью (ни для какого утверждения $A$ в них не выводимо одновременно $A$ и $\neg A$). Одна из них будет противоречива относительно общезначимости или как там это называется - в ней будет выводимо ложное утверждение.
Я правильно излагаю?

[Mikhail_K]

epros в сообщении #1111522 писал(а):

А это значит, что можно, например, поставить квантор не только на объекте, но и на свойстве ("для любого свойства натуральных чисел...", - и т.п.).

Увы, с этой "штукой" - логикой второго порядка - я не очень знаком. Поэтому на Ваш вопрос "Как же быть?", наверное, придётся отвечать Вам самим, или если вдруг здесь появится другой знаток мат.логики, то ему. Во всяком случае, не мне.

У меня, однако, есть следующее сомнение в том, что Вы сказали. Подозреваю, что в построениях "для любого свойства натуральных чисел" вот это уточнение к чему именно относится свойство (в данном случае - к натуральным числам) - обязательно. Если допускать выражения вида "для любого свойства (чего угодно)", то я почти уверен, что начнутся парадоксы типа парадоксов наивной теории множеств. Произвольно конструируемые свойства должны быть так же опасны, как и произвольно конструируемые множества. А если мы уточняем, к чему именно относится свойство, то это аналогично аксиоме выделения теории множеств, которая позволяет нам конструировать множества заданием любого условия, не беспокоясь при этом о парадоксах.
А это значит, что для таких утверждений вида "для любого свойства натуральных чисел, ..." - нужны, как минимум, натуральные числа. Или, скажем, где-то может быть нужно множество вещественных чисел. Другими словами, нужна теория множеств с некоторыми собственными аксиомами. Это заставляет меня сомневаться в том, что если у нас нет вообще никакой теории множеств, а только логика второго порядка, то мы сможем сформулировать гипотезу континуума. Ведь если у нас нет никаких множеств и никаких объектов, то мы не сможем воспользоваться конструкциями типа "для любого свойства (чего?)". Не так?

Подчёркиваю, что в здесь я дилетант, и поэтому не настаиваю на чём-то своём, а задаю вопрос.

[arseniiv]

Как тут некоторые говорят, подолью масла в огонь (т. к. я тоже в логике второго порядка не особо).
Чистая логика второго порядка имеет моделями множества всевозможных мощностей (здесь она не отличается от первопорядковой?), в том числе и конечные. Там-то континуум-гипотеза должна быть неверна, нет?

-- Сб апр 02, 2016 22:24:53 --

Вообще, кто сказал, что формула чистой логики второго порядка обязана иметь на всех интерпретациях одно м то же значение? В языке первого порядка (с равенством) мы можем написать формулу, истинную в одних интерпретациях и ложную в других: $\exists x\exists y.\;x\ne y$ (и в случае, если рассматривать только интерпретации, где $=$ интерпретируется равенством, и, разумеется, в противном). Она же является и формулой второго порядка, и имеет аналогичное поведение. Никто не сказал, что выражение континуум-гипотезы не может иметь аналогичного поведения.

-- Сб апр 02, 2016 22:25:21 --

Так что я чего-то не понимаю в утверждении epros.