Множество корней уравнения
. Это что за множество?
И будем жутко страдать из-за отсутствия пустого множества и одноэлементных множеств. Попробуйте догадаться, почему.
Я жутко страдаю от их присутствия))
Дело в том, что не про все множества сразу можно сказать, есть в них элементы или нет, и если есть то сколько. С условием
сразу понятно, что ему не удовлетворяет ни один элемент вообще, но с другими условиями это может быть вовсе не ясно.
Вот в примере с корнями уравнения - сразу ведь не скажешь, сколько этих корней. Если запрещать пустое множество, то мы бы не смогли говорить о множестве корней уравнения до тех пор, пока точно не выяснили бы, что эти корни существуют. И о многих других множествах тоже не смогли бы говорить.
А если пустое множество мы не запрещаем, то можем говорить о множестве
, каким бы ни было условие
, даже если про него мы пока не знаем, удовлетворяют ли ему какие-нибудь элементы или нет. Это удобно - каждому условию соответствует своё множество. (Парадоксов удаётся избежать явным указанием
- то есть новое множество строится на основе уже существующего множества
; но это детали.)
Я уж не говорю, что запретив пустое множество, мы не сможем определить простейшие операции теории множеств. Вот, например, пересечение двух множеств
и
- это множество, включающее те и только те элементы, которые содержатся в обоих множествах одновременно. Понятно, что таких элементов может и не быть - если
и
не имеют общих элементов, и тогда их пересечение пусто. А без пустого множества нам пришлось бы смириться с тем, что пересечение двух множеств иногда существует, иногда не существует - и это крайне неудобно.