Предлагаю вам прямо здесь и сейчас перейти от разборок к цитированию источников
При этом можете руководствоваться тем, как это выше сделал я.
Для начала есть предложение посмотреть ваши источники и то, что в них сказано о «функциях на

».
Шафаревич (старший!), Ремизов, Линейная алгебра и геометрия ФИЗМАТЛИТ 2009, стр. 8, 2-я строка снизу
Цитата:
Отображением множества

в множество

называется правило, по которому каждому элементу множества

сопоставляется определенный элемент из

.
Дальше «функция на» (она же замкнутая) названа отображением в себя. В чем проблема? Это еще одно название.
Кострикин Основы алгебры издание ФИЗМАТЛИТ 2000 г. стр. 35 10-я строка снизу
А у меня старая книжка... Вещественнозначные функции в районе 35 страницы не найдены. Для функций в целом терминология немного своя, зато области используются на полную катушку. Нет слова «замкнутость» и нет «функций на», вместо них упоминается преобразование множества в себя. Это то же самое.
Городенцев Алгебра ч.1, изд-во МЦНМО 2013, стр. 12, 8-я строка сверху
У меня другой год. Вещественнозначных функций я не увидел, «функции на» не упоминаются.
Определение функции, которым пользуется Давидович, приводится в подавляющем большинстве современных учебников математики:
У Давидовича неверное использование терминов. Он не отличает «функции на» от «функций между». Поэтому каждый раз, когда

, его определение становится неверным. В каком большинстве учебников? Ошибка только в этих листках.