Верно ли, что из этого следует, что экстремум достигается в точке
![$f(\frac{1}{y^2};y;y)$ $f(\frac{1}{y^2};y;y)$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/5/a/a/5aac3548bdc1377e783fe05931f0338c82.png)
Подумал над Вашим вопросом, кажется, что необязательно. Не могу назвать изложение ниже доказательством, это, скорее, "наводящие соображения":
1. зафиксируем
![$z$ $z$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/f/9/3/f93ce33e511096ed626b4719d50f17d282.png)
; мы знаем, что для любого
![$y$ $y$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/d/e/c/deceeaf6940a8c7a5a02373728002b0f82.png)
,
![$F(y) \ge F(1/yz)$ $F(y) \ge F(1/yz)$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/d/d/3/dd39e124e924ca38e870f75b04b64e4c82.png)
, поскольку в нашей области
![$1/2 \le 1/yz \le y \le 1$ $1/2 \le 1/yz \le y \le 1$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/9/2/0/9208021437174a5b236ce9bac5ca9d6882.png)
функция
![$F(y)= \frac {y-1} {y^2-y+1}$ $F(y)= \frac {y-1} {y^2-y+1}$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/0/7/9/07973b298cd52a78ee939c2768aff71682.png)
монотонно растет.
2. а хотим из этого доказать, что при данном
![$z$ $z$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/f/9/3/f93ce33e511096ed626b4719d50f17d282.png)
и для любого
![$y \in [1/2, 1]$ $y \in [1/2, 1]$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/b/3/f/b3f82da2d4b1a1f3d82e4d68efda343782.png)
, верно
![$2F(1/\sqrt z) \ge F(y) + F(1/yz)$ $2F(1/\sqrt z) \ge F(y) + F(1/yz)$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/e/e/3/ee39ec21695d2dc4c69ec0b900c34f6682.png)
И затем распространить этот результат на все значения
![$z \in [1, 2]$ $z \in [1, 2]$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/b/f/b/bfb59cfe319998282c34720993284d2282.png)
.
Не вижу с ходу простого способа сделать это, по-моему, это не сильно проще решения исходной задачи
![Sad :-(](./images/smilies/icon_sad.gif)
Т.е. это правда, что экстремум достигается когда хотя бы два, а, на самом деле, все три аргумента равны, но, неочевидно, что это можно получить просто из монотонности
![$F$ $F$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/b/8/b/b8bc815b5e9d5177af01fd4d3d3c2f1082.png)