Пифагоррея...

[Dan B-Yallay]

Denis Russkih в сообщении #1110582 писал(а):

В сферической геометрии можно внезапно получить не треугольник, а ещё одну точку, в которой сойдутся все три отрезка. :)

Да ради бога. Всё равно, хоть на какой-то окружности эта точка да лежит?
Сталo быть оговорка "Если ..." -- ни к чему.

[INGELRII]

А что еще бы интересно посмотреть, так это оригинальное доказательство. Чтобы оно состояло из более, чем двух слов "Это очевидно"

Ну-ка попробую: окружность с заданными центром и радиусом - это по определению геометрическое место всех точек, находящихся от данного центра на расстоянии, равном данному радиусу. Пронумеруем в произвольном порядке отрезки из условий теоремы и построим окружность с центром в точке, общей для всех трех отрезков и радиусом, равным длине первого отрезка. Концы второго и третьего отрезка также лежат на этой окружности, так как их длина равна радиусу построенной окружности. Следовательно, окружность проходит через все три конца отрезков. Что и требовалось доказать.

Хм, надо же, аж пять строчек получилось. Вот вам и очевидное утверждение! Прям жаль, что приоритет доказательства я упустил, сейчас бы про меня в новостях писали. Но такова судьба всех посредственностей - плестись в хвосте у гениев.

[RIP]

INGELRII в сообщении #1110619 писал(а):

Следовательно, окружность проходит через все три конца отрезков. Что и требовалось доказать.

Требовалось доказать не это. Теорема заключается в том, что не существует другой окружности (с другим центром), проходящей через те же самые три точки. Другими словами, у треугольника не может быть двух различных центров описанной окружности.

[INGELRII]

Серьезно? Перечитал условия еще раз. Нужна какая-то ошеломляющая снисходительность, чтобы понять данное утверждение именно так.

Если б в теореме говорилось то, что Вы ей приписываете, то она формулировалась бы так: "Если через три точки на плоскости можно провести окружность, то данная окружность единственна". Но формулировка совсем не такая. Ну или мы видим перед собой косноязычие, достойное $100500$ баллов по десятибальной шкале.

-- 31.03.2016, 00:10 --

"Если из точки выходят три отрезка, концы которых лежат на окружности, то точка есть центр окружности, а отрезки есть радиусы окружности". Ну. Я взял и построил некую окружность. Концы отрезков внезапно все на нее попали. То есть окружность условиям теоремы удовлетворяет. Я доказал, что начало отрезков есть ее центр, отрезки есть ее радиусы. То есть доказал именно то, что требовалось. Слова "единственность" там нету вапще.

По-прежнему не вижу, что я делаю не так.

[arseniiv]

(по словам grizzly) первоисточник писал(а):

[I]f three or more lines extend from a single point to the edge of a circle, then the point is the center of the circle and the straight lines are the radii.

Т. е. мы имеем в условии, что концы отрезков лежат на окружности. Но не сказано, центр или не центр её первая точка, так что это предстоит доказать. Ну а радиусость отрезков последует уже по определению, конечно. Сравните аналогичное, но неверное утверждение для двух отрезков.

-- Чт мар 31, 2016 02:33:23 --

Сначала я тоже читал как вы.

[grizzly]

(arseniiv)

Я там вообще-то ссылался на более древний первоисточник ("Начала" Евклида), но буквально через минуту заменил текст русским классическим переводом; теперь удивляюсь, из какого кэша Вы англо-вариант откопали?

[RIP]

INGELRII в сообщении #1110657 писал(а):

"Если из точки выходят три отрезка, концы которых лежат на окружности, то точка есть центр окружности, а отрезки есть радиусы окружности". Ну. Я взял и построил некую окружность.

В том то и дело, что "некую". А в условии сказано "центром данной окружности". В этом и заключается теорема: нужно доказать, что общий конец отрезков обязан быть центром той самой окружности, на которой, по условию, лежат остальные концы отрезков. Иначе, действительно, нечего доказывать. И количество отрезков было бы не важно.

[arseniiv]

(grizzly)

Это не «Начала», это то, что имелось в виду в первом посте.

[INGELRII]

Повторяю вопрос: ежели в теореме говорится о единственности окружности, почему тогда она формулируется именно так, как формулируется, а не в явном виде: "Через три точки на плоскости, не лежащие на прямой, проходит ровно одна окружность"? Евклидом мне в лицо попрошу не тыкать, Евклид был вынужден сам изобретать терминологию и методологию. Для первопроходца он справился неплохо. Однако девушка живет не во времена Евклида, с тех пор подобное косноязычие успело стать в науке неприемлемым. Хочешь говорить о современной математике - изволь говорить на ее языке. По-прежнему считаю, что моя трактовка имеет полное право на жизнь; теорему можно прочитать так, как сделал я, ибо формулировка изумительно корява.

А чисто по-человечески девушку жалко. В математику ей и впрямь лучше не идти. А то коллеги всю жизнь будут подкалывать: "Так это вы доказали, что если точки лежат на окружности, то они лежат на окружности? Бггггг!"

[Mihr]

INGELRII, она и не собирается идти в математику. И не считает, что сделала великое открытие. Так посчитал лишь кое-кто из журналистов, и юмор именно в этом.
Вероятно, именно этот журналист и исказил формулировку её "теоремы". Действительно,

Цитата:

Если из одной точки выходят три равных отрезка, концы которых лежат на одной окружности, то эта точка является центром данной окружности, а отрезки – ее радиусами.

звучит забавно. Можно подумать, что возможно провести из точки три равных отрезка, концы которых не лежали бы на одной окружности
Но давайте не забывать: такую формулировку сообщает нам журналист. А эта братия часто не думает, что говорит. Им "сенсации" подавай.
Вряд ли сама девочка так уж глупа. И, очевидно, она хотела сказать нечто рациональное.
Нетрудно заметить: если заменить лишь одно слово в этой формулировке, теорема приобретает смысл. Заменим "одной" на "заданной". Получим:
Если из одной точки выходят три равных отрезка, концы которых лежат на заданной окружности, то эта точка является центром данной окружности, а отрезки – ее радиусами.
Согласитесь, это отнюдь не бессмысленное утверждение. К тому же верное, если дополнительно предположить, что рассматриваемая точка (из которой расходятся отрезки) лежит в той же плоскости, что и окружность. А это наверняка молчаливо подразумевалось, так как девочка наверняка пока ещё изучает планиметрию.

[NT2000]

Mihr в сообщении #1110776 писал(а):

А это наверняка молчаливо подразумевалось

Обьясните мне пожалуйста, где в постановке этой "теоремы" сказано, что окружность и плоскость образованая концами радиусов лежат в одной и той же плоскости?

[INGELRII]

Насчет планиметрии: это как раз очевидно, что именно теорема относится к ней. Хотя бы потому, что в стереометрии тривиально строится контрпример. Возьмем правильный тетраэдр $ABCD$ и в качестве трех отрезков его ребра, исходящие из вершины $A$; довольно очевидно, что $A$ не является центром окружности, проходящей через $BCD$ хотя бы по той причине, что $A$ вообще не лежит в плоскости $BCD$. Что до возможных искажений формулировки, тут все может быть. Но согласитесь, что я вижу перед собой только ту формулировку, что сообщил журнализд, именно о ней я и могу говорить. Если предположить, что формулировка искажена, то откуда ж мне знать, как она там должна выглядеть, может, девушка сформулировала и доказала вообще гипотезу Римана?

[Mihr]

NT2000 в сообщении #1110779 писал(а):

Обьясните мне пожалуйста, где в постановке этой "теоремы" сказано, что плоскость окружности и плоскость образованая концами радиусов - это одна и та же плоскость?

NT2000, во-первых, как я уже сказал, наверняка подразумевалось, что все точки и линии, о которых идёт речь, лежат в одной плоскости. К изучению стереометрии девушка ещё не приступала.
Во-вторых, в любом случае, если концы отрезков лежат на окружности, то плоскость окружности и плоскость, образованная этими концами отрезков - одна и та же плоскость. Так что смысл Вашего вопроса мне не понятен.

-- 31.03.2016, 11:08 --

INGELRII, по-моему, мы уже говорим об одном и том же, только в разных выражениях. В общем, всё понятно, и продолжать нет смысла.

[INGELRII]

Еще по поводу планиметрии vs стереометрии: в планиметрии есть куча утверждений, которые в стереометрии не верны. Скажем хоть про то, что через точку, не лежащую на прямой, проходит единственная не пересекающая ее прямая. Что ж теперь, про каждую теорему из планиметрии необходимо явно упоминать, что она именно из планиметрии?

[Mihr]

INGELRII, давайте обойдёмся без занудства. Формулировка корява, с этим, видимо, все согласны. Зачем повторять об этом вновь и вновь?
А то, что утверждение девушки относится лишь к планиметрии, как говорится, ясно из контекста.