Про композиции

[arseniiv]

Lia: Отделено из «Задачи по теории множеств»

Ellan Vannin в сообщении #1110099 писал(а):

Я только не понял, к чему вы её хотите применить.

К «неправильной» композиции функций, т. к. функция — либо бинарное отношение, либо легко туда-сюда конвертируется в зависимости от определения. Результатом будет, конечно, не обязательно функция. Ну, да, т. к. тут пока только про функции, я не в тему.

[Ellan Vannin]

arseniiv в сообщении #1110571 писал(а):

Ну, да, т. к. тут пока только про функции, я не в тему.

Вы вообще не в тему.

arseniiv в сообщении #1110571 писал(а):

К «неправильной» композиции функций, т. к. функция — либо бинарное отношение, либо легко туда-сюда конвертируется в зависимости от определения.

Композиция отношений определяется только тогда, когда области отправления и прибытия согласованы некоторым образом. Композиция произвольных отношений не определена.

arseniiv в сообщении #1110571 писал(а):

Результатом будет, конечно, не обязательно функция.

Это неверно. Для двух функций результатом будет либо функция, либо никакого результата вообще.

[arseniiv]

Ellan Vannin в сообщении #1110599 писал(а):

Композиция отношений определяется только тогда, когда области отправления и прибытия согласованы некоторым образом. Композиция произвольных отношений не определена.

Их всегда можно расширить нужным образом, в отличие от функций, где область определения никак расширить не получится.

Надеюсь, наше несогласие чисто терминологическое.

[Ellan Vannin]

arseniiv в сообщении #1110621 писал(а):

Их всегда можно расширить нужным образом

Откуда вы взяли возможность что-то расширять? А почему не сокращать, например, выбрасывая лишние элементы? В итоге получатся принципиально разные отношения. Нельзя их путать никогда, ни в коем случае.

arseniiv в сообщении #1110621 писал(а):

Надеюсь, наше несогласие чисто терминологическое.

Нет. Композиция графиков — известное понятие. Композиция функциональных графиков всегда функциональна. Доказательство этого факта вам в качестве упражнения.

Поэтому фраза

arseniiv в сообщении #1110571 писал(а):

Результатом будет, конечно, не обязательно функция.

неверна с любой точки зрения.

Если уж вы хотите что-то «расширять», то пусть имеются два графика функций $G_f$ и $G_g$. Они функциональны. Тогда для $G_f \circ G_g$ всегда можно подобрать функцию. И не одну.

Это не говоря уже о том, что все ваши эксперименты с композицией прямо запрещены в определениях.

[arseniiv]

(Оффтоп)

Ellan Vannin в сообщении #1110635 писал(а):

Откуда вы взяли возможность что-то расширять? А почему не сокращать, например, выбрасывая лишние элементы?

Странный вопрос, почему не выбрасывать элементы. Потому что по этому преобразованию-с-выкидыванием (возьмём его транзитивное симметричное рефлексивное замыкание как отношения) все отношения эквивалентны.

Ellan Vannin в сообщении #1110635 писал(а):

Композиция графиков — известное понятие. Композиция функциональных графиков всегда функциональна. Доказательство этого факта вам в качестве упражнения.

Я понимаю, что композиция графиков пары функций, для которой композиция функций определена, функциональна. Но когда последняя не определена, её можно было бы сделать определённой, но соглашусь, что лучше бы я этого здесь не предлагал. (Хотя в моём понимании это почти на грани чисто терминологического расхождения.)

Если нужно, прошу прощения за то, что влез в налаженную дискуссию.

[Ellan Vannin]

arseniiv в сообщении #1110665 писал(а):

Я понимаю, что композиция графиков пары функций, для которой композиция функций определена, функциональна. Но когда последняя не определена, её можно было бы сделать определённой,

Возьмем тождественные отображения $f_1$ и $f_2$ на одноэлементных множествах. Графики $G_{f1}=\{ \langle 1,1 \rangle \}$ и $G_{f2}=\{ \langle 2,2 \rangle \}$ функциональны. Композиция графиков (в любом порядке) пуста, и поэтому функциональна. Композиция функций не определена.

Переопределите функции так, чтобы и композиция их сделалась опредёленной, при этом пустое множество оказалось графиком результата.

arseniiv в сообщении #1110571 писал(а):

Результатом будет, конечно, не обязательно функция.

Нужно привести конкретные примеры того, как у вас получилась «не обязательно функция».

arseniiv в сообщении #1110665 писал(а):

Если нужно, прошу прощения за то, что влез в налаженную дискуссию.

Не нужно никакого прощения, все в норме Думаю, никто же не возражает против новой информации. Дискуссия снова будет налаженной, когда вы предложите примеры, и продемонстрируете на них вашу идею.

[arseniiv]

Ellan Vannin в сообщении #1110751 писал(а):

Переопределите функции так, чтобы и композиция их сделалась опредёленной, при этом пустое множество оказалось графиком результата.

Разумеется, расширить отношения $f_1,f_2$, оставив их функциями, так, чтобы была определена композиция отношений, не получится. Но если сделать $f'_2$ частичной функцией $(G_{f_2},\{1,2\},\{2\})$, композиция $f'_2\circ f_1$ (понимаю, что для отношения принято писать композицию в обратном порядке относительно к. функций, но тут оставим для соответствия) существует и является пустым отношением $(\varnothing,\{1\},\{2\})$, так что, кстати говоря, и функцией тоже.

Ellan Vannin в сообщении #1110751 писал(а):

Нужно привести конкретные примеры того, как у вас получилась «не обязательно функция».

Пример: $f = \mathrm{id}_{\{1,2\}}$, $g = \mathrm{id}_{\{1\}}$. $f\circ g$ — нормальная композиция и равна $(\{(1,1)\},\{1\},\{1,2\})$. Пусть $g' = (G_g,\operatorname{dom}g\cup\operatorname{cod}f,\operatorname{cod}g) = (\{(1,1)\},\{1,2\},\{1\})$. Композиция $g'\circ f$ — уже не функциональное отношение, и совпадает с $g'$.

[Ellan Vannin]

arseniiv, я посмотрел оба ваших примера, и, кажется, вник. Вы хотите ввести новую «операцию» следующим образом: $ \langle G_2, A, B \rangle \diamond \langle G_1, X, Y \rangle = \langle G_1 \circ G_2 , X, B \rangle$? Или, может быть, графики «умножаются» наоборот: $ \langle G_2, A, B \rangle \diamond \langle G_1, X, Y \rangle = \langle G_2 \circ G_1 , X, B \rangle$? Для этих примеров подойдет и то, и другое. Почему-то для вас оказалось так сложно записать сразу строгое и точное определение, что мне пришлось додумывать, что же вы имели в виду.

И потом. Функциональность, как известно, сохраняется. И уж если мы получили в результате частичную функцию, то всегда можно перейти от неё к обычному отображению, если отбросить лишнее из области отправления и оставить всё нужное в области прибытия. Причем сделать это можно неединственным способом.

Какой тут вывод? Выдумывание многочисленных новых «операций» над отношениями — это, безусловно, увлекательно и хорошо, но никакой однозначности мы в этом деле не добьемся. А если нужна однозначность и взаимопонимание, то придется следовать стандартным определениям по учебнику, не добавляя ничего от себя.

arseniiv в сообщении #1110757 писал(а):

Пример: $f = \mathrm{id}_{\{1,2\}}$, $g = \mathrm{id}_{\{1\}}$. $f\circ g$ — нормальная композиция и равна $(\{(1,1)\},\{1\},\{1,2\})$.

Я не знаю, что такое «нормальная композиция». Композиция $f\circ g$ не определена.

arseniiv в сообщении #1110757 писал(а):

композиция $f'_2\circ f_1$ (...) существует

Не существует. Вам придется, помимо прочего, изменить область прибытия у $f_1$, чтобы что-то получилось.

arseniiv в сообщении #1110757 писал(а):

пустым отношением $(\varnothing,\{1\},\{2\})$, так что, кстати говоря, и функцией тоже.

Нет, не функцией. Для функции должно быть выполнено условие полноты слева.

arseniiv в сообщении #1110757 писал(а):

$g' = (G_g,\operatorname{dom}g\cup\operatorname{cod}f,\operatorname{cod}g) = (\{(1,1)\},\{1,2\},\{1\})$. Композиция $g'\circ f$ — уже не функциональное отношение, и совпадает с $g'$.

Неверно. $g'$ — это функциональное отношение.

arseniiv, вам нужно повторить теорию. Если вы путаете полноту слева и функциональность, причем на двух абсолютно похожих примерах, то это нужно сделать обязательно.

[arseniiv]

Ellan Vannin в сообщении #1110972 писал(а):

Почему-то для вас оказалось так сложно записать сразу строгое и точное определение, что мне пришлось додумывать, что же вы имели в виду.

Как-то не подумал. Да, я имел в виду

Ellan Vannin в сообщении #1110972 писал(а):

$ \langle G_2, A, B \rangle \diamond \langle G_1, X, Y \rangle = \langle G_2 \circ G_1 , X, B \rangle$

Ellan Vannin в сообщении #1110972 писал(а):

Какой тут вывод? Выдумывание многочисленных новых «операций» над отношениями — это, безусловно, увлекательно и хорошо, но никакой однозначности мы в этом деле не добьемся.

Ну как же нет, когда без отбрасывания части области определения, на которой частичная функция не определена, всё однозначно? По крайней мере, сохранить $\mathrm{dom}$ правого отображения и $\mathrm{cod}$ левого кажется мне более логичным, чем выбирать их для такой композиции° (назовём её здесь так) по-другому.

Ellan Vannin в сообщении #1110972 писал(а):

А если нужна однозначность и взаимопонимание, то придется следовать стандартным определениям по учебнику, не добавляя ничего от себя.

Да, для взаимопонимания стоит описывать композицию° отдельно и явно упоминать её отличие от композиции. Но при ясном изложении — не вижу проблем.

Ellan Vannin в сообщении #1110972 писал(а):

Я не знаю, что такое «нормальная композиция». Композиция $f\circ g$ не определена.

(Я имел в виду, что эта композиция в принятом смысле этого слова (потому «нормальная»; да, надо было сразу назвать композицию° композицией°, чтобы не путать) определена.)
Почему не определена? На всякий случай, я имел в виду обычный для функций порядок $(f\circ g)(x) = f(g(x))$, а не $(g\circ f)(x) = f(g(x))$. $\operatorname{cod}g\subset\operatorname{dom}f$, так что всё нормально.

Ellan Vannin в сообщении #1110972 писал(а):

Не существует. Вам придется, помимо прочего, изменить область прибытия у $f_1$, чтобы что-то получилось.

Зачем? $\operatorname{cod}f_1 = \{1\}\subset\{1,2\}=\operatorname{dom}f'_2$. Если композицию определить для частичных функций (что по сравнению с композицией° невинно и где-нибудь уж точно используется).

Ellan Vannin в сообщении #1110972 писал(а):

Нет, не функцией. Для функции должно быть выполнено условие полноты слева.

А, да, вот тут я ерунду написал.

Ellan Vannin в сообщении #1110972 писал(а):

Неверно. $g'$ — это функциональное отношение.

Тут мне надо было перечитать написанное и заменить на «являющееся функцией» или «функциональное и тотальное», угу.

[grizzly]

arseniiv в сообщении #1111209 писал(а):

Почему не определена? На всякий случай, я имел в виду обычный для функций порядок $(f\circ g)(x) = f(g(x))$, а не $(g\circ f)(x) = f(g(x))$. $\operatorname{cod}g\subset\operatorname{dom}f$, так что всё нормально.

Здесь, если я правильно понял Ellan Vannin, имелось в виду, что при строгом изложении (как это принято у всякого рода категорщиков) определение композиции предполагает точное совпадение $\operatorname{cod}g=\operatorname{dom}f$, а не вложение. Из-за чего Ellan Vannin ругал ру-вики (в англо-вики на этой разнице как раз акцентируют внимание).

[Ellan Vannin]

arseniiv в сообщении #1111209 писал(а):

без отбрасывания части области определения, на которой частичная функция не определена, всё однозначно

Частичная функция всюду определена в области определения. Не путайте с областью отправления.

arseniiv в сообщении #1111209 писал(а):

По крайней мере, сохранить $\mathrm{dom}$ правого отображения и $\mathrm{cod}$ левого кажется мне более логичным, чем выбирать их для такой композиции° (назовём её здесь так) по-другому.

Можно придумать новых «операций» — да сколько угодно. С самого начала было неизвестно, что вы вообще имеете в виду. При этом сам стиль повествования такой, будто всё прозрачно, легко догадаться, будто спор о разных терминах с одним смыслом. Наконец когда я стал угадывать, один из вариантов вам понравился и в последнем сообщении вы его сделали определением.

Не знаю, как вам кажется, а мне кажется более логичным обозначить сразу предмет разговора четко, строго и ясно.

arseniiv в сообщении #1111209 писал(а):

Почему не определена? На всякий случай, я имел в виду обычный для функций порядок

Любой порядок — не определена.

arseniiv в сообщении #1111209 писал(а):

$\operatorname{cod}g\subset\operatorname{dom}f$, так что всё нормально.

Этого не достаточно. Как правильно отметил grizzly, требуется равенство областей.

arseniiv в сообщении #1111209 писал(а):

Зачем? $\operatorname{cod}f_1 = \{1\}\subset\{1,2\}=\operatorname{dom}f'_2$. Если композицию определить для частичных функций (что по сравнению с композицией° невинно и где-нибудь уж точно используется).

Я только попрошу: не надо сейчас ничего определять. Найдите и прочитайте, что на эту тему написано в учебниках.

(Оффтоп)

grizzly в сообщении #1111253 писал(а):

при строгом изложении (как это принято у всякого рода категорщиков) определение композиции предполагает точное совпадение $\operatorname{cod}g=\operatorname{dom}f$, а не вложение.

Хорошо, что листок Давидовича оказался в этом плане достаточно строг

[arseniiv]

Ellan Vannin в сообщении #1111258 писал(а):

Частичная функция всюду определена в области определения. Не путайте с областью отправления.

Хорошо, мне снова следовало написать просто $\mathrm{dom}$. (Или я опять не радую путаницей в обозначениях, и для частичных функций это пишется как-то по-другому?)

Ellan Vannin в сообщении #1111258 писал(а):

С самого начала было неизвестно, что вы вообще имеете в виду. При этом сам стиль повествования такой, будто всё прозрачно, легко догадаться, будто спор о разных терминах с одним смыслом. Наконец когда я стал угадывать, один из вариантов вам понравился и в последнем сообщении вы его сделали определением.

Ясно. Мне казалось, что определение не такое уж непрозрачное. И я уже признал, что зря залез в тему, из которой выделили это обсуждение, со своим комментарием.

Ellan Vannin в сообщении #1111258 писал(а):

Я только попрошу: не надо сейчас ничего определять. Найдите и прочитайте, что на эту тему написано в учебниках.

Ну, так я уже всё и так определил, больше и так нечего. Почитаю. (Заодно посмотрю, как часто в композиции требуется именно равенство, а не вложение областей.) Можете даже посоветовать какой-нибудь из любимых.

[Ellan Vannin]

arseniiv в сообщении #1111296 писал(а):

следовало написать просто $\mathrm{dom}$. (Или я опять не радую путаницей в обозначениях, и для частичных функций это пишется как-то по-другому?)

Интересный вопрос, но я не знаю, как правильно употребляются эти сокращения. Английская вики пишет:

Цитата:

A binary relation $\mathcal R$ between arbitrary sets (or classes) $X$ (the set of departure) and $Y$ (the set of destination or codomain)

Цитата:

The domain of $\mathcal R$ is the set of all $x$ such that $x \mathcal R y$ for at least one $y$.

Так что скорее всего $\operatorname{cod}$ остается и в общем случае, а вместо $\operatorname{dom}$ должно быть что-нибудь вроде $\operatorname{dep}$. Но я не знаю этих обозначений, не использую их.

arseniiv в сообщении #1111296 писал(а):

И я уже признал, что зря залез в тему, из которой выделили это обсуждение, со своим комментарием.

А почему? Нас же переселили С той темой все в порядке.

[grizzly]

Ellan Vannin в сообщении #1111360 писал(а):

С той темой все в порядке.

Ну это с некоторой натяжкой сказано. Там уже помимо понятия "отображение" засвечено множество всяких понятий, от которых неискушённый ТС может совсем мотивацию потерять. Все эти "отношения", "области убытия / прибытия" и т.п. там не стоило упоминать (или давать чёткие определения / ссылки на литературу). Я уже не говорю про "функции", которые в используемом там учебнике определены так, что Ваше использование этого термина становится и вовсе некорректным.
В любом случае нужно учитывать специфику раздела ПРР.

[Brukvalub]

grizzly в сообщении #1111377 писал(а):

Ellan Vannin в сообщении #1111360 писал(а):

С той темой все в порядке.

Ну это с некоторой натяжкой сказано. Там уже помимо понятия "отображение" засвечено множество всяких понятий, от которых неискушённый ТС может совсем мотивацию потерять. Все эти "отношения", "области убытия / прибытия" и т.п. там не стоило упоминать (или давать чёткие определения / ссылки на литературу). Я уже не говорю про "функции", которые в используемом там учебнике определены так, что Ваше использование этого термина становится и вовсе некорректным.
В любом случае нужно учитывать специфику раздела ПРР.

Присоединяюсь к этому суждению целиком и к каждой его букве в отдельности! Более того, уверен, что все указанное выше пижонство- махровый бурбакизм, с которым мы должны беспощадно бороться и победить!