2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


Посмотреть правила форума



Начать новую тему Ответить на тему
 
 Сингулярность лапласиана в полярных координатах
Сообщение29.03.2016, 20:55 


18/05/14
71
Здравствуйте. Я пытаюсь решить аксиально-симметричную двумерную задачу, в которой в ДУ входит оператор Лапласа

$$\Delta u = \partial_{rr} u + \frac{1}{r} \partial_r u $$

Проблема в том, что имеется сингулярность в начале координат $r=0$. Для её избежания я использую аппроксимацию (с учетом $\partial _r u (r=0) = 0$) возле точки $r=0$

$$\frac{1}{r} \partial_r u \approx \partial _{rr} u $$

Также, для того, чтобы точка $r=0$ не выступала как граница для численного решения, я зеркально расширяю область $0\ne r < \infty$ до $-\infty < r < \infty$, при этом делаю замену $r \to -r$ при $r<0$ (то есть при $r<0$ $$\Delta u = \partial_{rr} u + \frac{1}{\abs{r}} \partial_r u $$

Однако, данный метод работает не слишком аккуратно (решение получается с большой ошибкой). Есть ли еще какие-нибудь удобные методы для удаления сингулярности и эффекта границы? Где можно про них почитать?

 Профиль  
                  
 
 Re: Сингулярность лапласиана в полярных координатах
Сообщение29.03.2016, 22:32 


25/08/11

1074
Это уравнение Эйлера-Пуассона-Дурбу. Про него написаны горы всего.

 Профиль  
                  
 
 Re: Сингулярность лапласиана в полярных координатах
Сообщение30.03.2016, 13:35 
Заслуженный участник


11/05/08
32166
lv00 в сообщении #1110301 писал(а):
(решение получается с большой ошибкой)

Естественно. Ибо из $u'_r\Big|_{r=0}=0$ ни разу не следует, что и $\frac{1}{r}u'_r\Big|_{r=0}=0$

Аппроксимируйте на полуцелых узлах ($r_i=h(i+\frac12)$).

 Профиль  
                  
 
 Re: Сингулярность лапласиана в полярных координатах
Сообщение31.03.2016, 22:28 


18/05/14
71
ewert в сообщении #1110494 писал(а):

Аппроксимируйте на полуцелых узлах ($r_i=h(i+\frac12)$).


Что вы имеете в виду под "на полуцелых узлах"? Исключить точку $r=0$ из рассмотрения или что?

Я слышал, что есть еще методы аппроксимации какими-то полиномами по нескольким точкам, но ничего про это не нашел.

 Профиль  
                  
 
 Re: Сингулярность лапласиана в полярных координатах
Сообщение01.04.2016, 00:44 
Заслуженный участник


11/05/08
32166
lv00 в сообщении #1110938 писал(а):
Что вы имеете в виду под "на полуцелых узлах"?


lv00 в сообщении #1110938 писал(а):
($r_i=h(i+\frac12)$)

Вы ж явно аппроксимируете сеточно. А иначе всё это как-то бессмысленно.

 Профиль  
                  
 
 Re: Сингулярность лапласиана в полярных координатах
Сообщение01.04.2016, 12:19 


25/08/11

1074
Ещё используют неравномерные сетки, сгущающиеся к особенности, например, как логарифм.

 Профиль  
                  
 
 Re: Сингулярность лапласиана в полярных координатах
Сообщение01.04.2016, 19:44 
Заслуженный участник


11/05/08
32166
Это достаточно бессмысленно -- ничего там в нуле нет у решения такого особенного, чтобы сгущать. А вот на полуцелой сетке особенность в нуле просто гасится.

 Профиль  
                  
 
 Re: Сингулярность лапласиана в полярных координатах
Сообщение01.04.2016, 23:56 


25/08/11

1074
Зачем её гасить, если у Вас её нет?
Для уравнения ЭПД вначале нужно понять, что ищем-то есть поставить корректную задачу, начальные условия и тд. Они тут необычные, весовые или интегральные. А так и постоянная решение, и логарифм r, очевидное решение с особенностью. Поэтому используют сгущающиеся сетки для решений уравнений с особенностью. Кто их никогда не решал- у тех свой взгляд на вещи.

 Профиль  
                  
 
 Re: Сингулярность лапласиана в полярных координатах
Сообщение04.04.2016, 21:52 


18/05/14
71
ewert в сообщении #1111171 писал(а):
Это достаточно бессмысленно -- ничего там в нуле нет у решения такого особенного, чтобы сгущать. А вот на полуцелой сетке особенность в нуле просто гасится.

Я попробовал использовать полуцелую сетку с зеркальным отражением в область $r < 0$. В итоге решение очень нестабильно, взлетает в бесконечность буквально на третьем-четвертом шаге. Для интегрирования уравнения использую симплектическую схему четвертого порядка точности.

 Профиль  
                  
 
 Re: Сингулярность лапласиана в полярных координатах
Сообщение05.04.2016, 11:13 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


01/09/13
4656
lv00 в сообщении #1110301 писал(а):
для того, чтобы точка $r=0$ не выступала как граница для численного решения

Но ведь она и есть граница с граничным условием
lv00 в сообщении #1110301 писал(а):
(с учетом $\partial _r u (r=0) = 0$)

 Профиль  
                  
 
 Re: Сингулярность лапласиана в полярных координатах
Сообщение05.04.2016, 13:57 


25/08/11

1074
Не поленитесь, откройте книжку Терсенова изд НГУ и прочитайте на первой странице, что уравнение ЭПД некорректно, если ставить обычные начальные условия. И не ставьте их, иначе всё время что-то будет не так.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 11 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group