Сингулярность лапласиана в полярных координатах

[lv00]

Здравствуйте. Я пытаюсь решить аксиально-симметричную двумерную задачу, в которой в ДУ входит оператор Лапласа

$$\Delta u = \partial_{rr} u + \frac{1}{r} \partial_r u $$

Проблема в том, что имеется сингулярность в начале координат $r=0$. Для её избежания я использую аппроксимацию (с учетом $\partial _r u (r=0) = 0$) возле точки $r=0$

$$\frac{1}{r} \partial_r u \approx \partial _{rr} u $$

Также, для того, чтобы точка $r=0$ не выступала как граница для численного решения, я зеркально расширяю область $0\ne r < \infty$ до $-\infty < r < \infty$, при этом делаю замену $r \to -r$ при $r<0$ (то есть при $r<0$

$$\Delta u = \partial_{rr} u + \frac{1}{\abs{r}} \partial_r u $$

Однако, данный метод работает не слишком аккуратно (решение получается с большой ошибкой). Есть ли еще какие-нибудь удобные методы для удаления сингулярности и эффекта границы? Где можно про них почитать?

[sergei1961]

Это уравнение Эйлера-Пуассона-Дурбу. Про него написаны горы всего.

[ewert]

lv00 в сообщении #1110301 писал(а):

(решение получается с большой ошибкой)

Естественно. Ибо из $u'_r\Big|_{r=0}=0$ ни разу не следует, что и $\frac{1}{r}u'_r\Big|_{r=0}=0$

Аппроксимируйте на полуцелых узлах ($r_i=h(i+\frac12)$).

[lv00]

ewert в сообщении #1110494 писал(а):

Аппроксимируйте на полуцелых узлах ($r_i=h(i+\frac12)$).

Что вы имеете в виду под "на полуцелых узлах"? Исключить точку $r=0$ из рассмотрения или что?

Я слышал, что есть еще методы аппроксимации какими-то полиномами по нескольким точкам, но ничего про это не нашел.

[ewert]

lv00 в сообщении #1110938 писал(а):

Что вы имеете в виду под "на полуцелых узлах"?

lv00 в сообщении #1110938 писал(а):

($r_i=h(i+\frac12)$)

Вы ж явно аппроксимируете сеточно. А иначе всё это как-то бессмысленно.

[sergei1961]

Ещё используют неравномерные сетки, сгущающиеся к особенности, например, как логарифм.

[ewert]

Это достаточно бессмысленно -- ничего там в нуле нет у решения такого особенного, чтобы сгущать. А вот на полуцелой сетке особенность в нуле просто гасится.

[sergei1961]

Зачем её гасить, если у Вас её нет?
Для уравнения ЭПД вначале нужно понять, что ищем-то есть поставить корректную задачу, начальные условия и тд. Они тут необычные, весовые или интегральные. А так и постоянная решение, и логарифм r, очевидное решение с особенностью. Поэтому используют сгущающиеся сетки для решений уравнений с особенностью. Кто их никогда не решал- у тех свой взгляд на вещи.

[lv00]

ewert в сообщении #1111171 писал(а):

Это достаточно бессмысленно -- ничего там в нуле нет у решения такого особенного, чтобы сгущать. А вот на полуцелой сетке особенность в нуле просто гасится.

Я попробовал использовать полуцелую сетку с зеркальным отражением в область $r < 0$. В итоге решение очень нестабильно, взлетает в бесконечность буквально на третьем-четвертом шаге. Для интегрирования уравнения использую симплектическую схему четвертого порядка точности.

[Geen]

lv00 в сообщении #1110301 писал(а):

для того, чтобы точка $r=0$ не выступала как граница для численного решения

Но ведь она и есть граница с граничным условием

lv00 в сообщении #1110301 писал(а):

(с учетом $\partial _r u (r=0) = 0$)

[sergei1961]

Не поленитесь, откройте книжку Терсенова изд НГУ и прочитайте на первой странице, что уравнение ЭПД некорректно, если ставить обычные начальные условия. И не ставьте их, иначе всё время что-то будет не так.