Гиперплоскости в R^n

[Руст]

Вообще определение

$$\binom{x}{k}=\frac{x(x-I)(x-2I)...(x-(k-1)I)}{k!}$$

работает прекрасно даже в случае, когда x некоторый оператор, $I$ - единичный оператор. Здесь используются только натуральность нижнего аргумента, а в случае k=0 принимается в качестве определения выражения единичный оператор.
Иногда используется и в р-адическом варианте, когда делящееся на р сокращаются и если вверху делящихся на р больше выражение определяется как 0.
Ещё есть квантовые аналоги биномиальных коэффициентов.

[zoo]

В n-мерном пространстве имеется k гиперплоскостей. На какое максимальное число частей эти плоскости могут делить пространство.

Ответ. Многочлен p(x) степени n зададим условием
p(j)=2^j,\quad j=0...n Тогда p(k) -- ответ задачи

[Профессор Снэйп]

zoo писал(а):

В n-мерном пространстве имеется k гиперплоскостей. На какое максимальное число частей эти плоскости могут делить пространство.

Ответ. Многочлен p(x) степени n зададим условием
p(j)=2^j,\quad j=0...n Тогда p(k) -- ответ задачи

Во-первых, это не многочлен.

А во-вторых, $2^k$ --- это неправильный ответ. Если не верите ---рассмотрите случай $n=2$ и $k=3$. Если у Вас получится разделить плоскость на $2^3=8$ частей тремя прямыми,то Вам поставят памятник и Ваше имя прославится в веках

[RIP]

Профессор Снэйп писал(а):

zoo писал(а):

В n-мерном пространстве имеется k гиперплоскостей. На какое максимальное число частей эти плоскости могут делить пространство.

Ответ. Многочлен p(x) степени n зададим условием
p(j)=2^j,\quad j=0...n Тогда p(k) -- ответ задачи

Во-первых, это не многочлен.

Почему же не многочлен? Заданы значения многочлена в $n+1$ точках, степень$\leqslant n$. Такой многочлен существует и единствен. Можно было, конечно, просто написать $\sum_{i=0}^n\binom ki$, но zoo почему-то предпочёл именно такую формулировку (видимо, это намёк на решение ).

[zoo]

RIP писал(а):

Заданы значения многочлена в $n+1$ точках, степень$\leqslant n$

Вы совершенно верно меня поняли, а глупцов я не оспариваю. Профессора еще каки-то пошли

[Профессор Снэйп]

Да, зоопсихологию мы не изучали... Чем-то мы не нравимся обитателям зоопарка!

Вместо того, чтобы огрызаться, лучше подумайте над двумя задачами, сформулированными в первом сообщении темы

[Kid Kool]

Профессор Снэйп писал(а):

Вместо того, чтобы огрызаться, лучше подумайте над двумя задачами, сформулированными в первом сообщении темы Smile

Решение первой задачи я уже написал в этой теме. Решение второй получается, если сделать еще одно дополнительное замечание: если никакие n+1 из гиперплоскостей не пересекаются в одной точке, то из гиперплоскостей порядка на один меньше, получаемых при пересечении выделенной гиперплоскости с остальными, никакие n также не пересекаются в одной точке.

[zoo]

Профессор Снэйп писал(а):

Пусть $n,k >0$ --- натуральные числа и $a_1, \ldots, a_k \in \mathbb{R}^n$. Пусть в $\mathbb{R}^n$ также заданы $k$ гиперплоскостей, вектора нормалей к которым равны $a_1, \ldots, a_k$ соответственно. Доказать что

1) Количество частей, на которые эти гиперплоскости делят $\mathbb{R}^n$, не превосходит количества линейно независимых подмножеств множества $\{ a_1, \ldots, a_k \}$ (пустое множество также считаем линейно независимым).

2) Если никакие две из данных гиперплоскостей не совпадают и никакие $n+1$ не пересекаются в одной точке, то количество частей, на которые эти гиперплоскости делят $\mathbb{R}^n$, равно количеству линейно независимых подмножеств множества $\{ a_1, \ldots, a_k \}$.

обе задачи в посте сформулированы несколько странно, между тем как сама конструкция и связанные с ней вопросы хорошо известны.

В пространстве R^n даны k ( не упрощая дела, будем считать, что k\ge n ) гиперплоскостей.

Опр. Говорят, что гиперплоскости находятся в общем положении, если любые n из них пересекаются в единственной точке, любые две пересекаются по n-2 мерной плоскости, любые 3 -- по n-3 мерной и т.д, и ни через какую точку пространства не проходит более n гиперплоскостей.

Неформально говоря (хотя можно и формализовать это утверждение), свойство общего положения характеризуется тем, что, если каждую гиперплоскость пошевелить слегка, то свойство гиперплоскостей находиться в общем положении не нарушится. На максимальное количество частей пространство разбивается именно гиперплоскостями в общем положении. Это, как и остальное, доказывается индукцией по n.
Соответственно, максимальная линейно независимая система нормальных векторов у плоскостей в общем положении состоит из n векторов. Поэтому оценка, предлагаемая в пункте 1) , слишком грубая, ведь линейнонезависимых подмножеств будет никак не меньше чем $2^n$. Действительно, легко видеть, что плоскость разбивается 4 прямыми не более чем на 11 частей, против $2^4=16$. Утверждение 2) просто неверно, по тойже причине.

В следующем посте, впрочем, автор исправил свои формулировки:

Профессор Снэйп писал(а):

Доказать, что максимальное количество частей, на которые $k$ гиперплоскостей могут поделить $\mathbb{R}^n$, равно $2^k$ при $k \leqslant n$ и $\sum_{i=0}^n C_k^i$ при $k > n$ (то есть равно количеству подмножеств $k$-элементного множества, содержащих не более $n$ элементов).

Задача, конечно, является тривиальным следствием предыдущей, но может быть решена и независимо от неё.

С последним тезисом, трудно не согласиться, ибо из неверных утверждений может следовать все что угодно.

Можно рапссмотреть еще такую задачу. На какое количество ограниченных областей пространство разбивают k гиперплоскостей в общем положении?

[Профессор Снэйп]

zoo писал(а):

Поэтому оценка, предлагаемая в пункте 1) , слишком грубая, ведь линейнонезависимых подмножеств будет никак не меньше чем $2^n$. Действительно, легко видеть, что плоскость разбивается 4 прямыми не более чем на 11 частей, против $2^4=16$. Утверждение 2) просто неверно, по тойже причине.

Уважаемый zoo возымел желание обидеться, когда я неправильно понял его утверждение. Между тем он сам только что продемонстрировал неумение вникнуть в условие задачи.

Оба утверждения верны и оценка в первом утверждении точна. В случае четырёх прямых на плоскости имеем $k=4$ и $n=2$, так что $2^n = 4$, а вовсе не $16$. В четырёхэлементном множестве $6$ двухэлементных подмножеств, $4$ одноэлементных и одно пустое, то есть всего ровно $11$ подмножеств, мощность которых не превосходит $2$. И, как следствие, количество частей, на которые $4$ прямых могут разбить $\mathbb{R}^2$, как раз не больше чем $11$ (ибо всякое множество векторов из $\mathbb{R}^2$, содержащее более двух элементов, линейно зависимо).

В первом посте темы сформулировано более сильное утверждение, чем утверждение о максимальности числа частей, на которые $\mathbb{R}^n$ разбивается $k$ плоскостями, находящимися в "общем положении". В частности, из него сразу следует, что если $4$ прямые параллельны, то плоскость разбивается ими на $5$ частей, хотя никакой "общностью положения" здесь и не пахнет.

В следующем посте автор не "исправился", как Вам показалось, а всего лишь упростил условие задачи, поскольку в исходной, более общей формулировке задача долго оставалась не решённой.

В общем, прежде чем надувать губки на полэкрана, прочитайте внимательно условие.

to Kid Kool: извиняюсь, но я так и не заметил Вашего решения. Нельзя ли расписать его немного подробнее?

[Gordmit]

На эту тему есть еще одна интересная задача.
Пусть $n=2$ (т.е. рассматриваются $k$ прямых на плоскости $\mathbb{R}^2$). Количество частей плоскости, на которые ее разбивают эти $k$ прямых, может быть от $A=k+1$ (когда они все параллельны) до $B=\frac{k(k+1)}{2}+1$ (в случае общего положения). Вопрос: для каких из чисел $C$ между $A$ и $B$ существует расположение $k$ прямых, разбивающих плоскость на $C$ частей, и для каких не существует?

[Профессор Снэйп]

Gordmit писал(а):

На эту тему есть еще одна интересная задача.
Пусть $n=2$ (т.е. рассматриваются $k$ прямых на плоскости $\mathbb{R}^2$). Количество частей плоскости, на которые ее разбивают эти $k$ прямых, может быть от $A=k+1$ (когда они все параллельны) до $B=\frac{k(k+1)}{2}+1$ (в случае общего положения). Вопрос: для каких из чисел $C$ между $A$ и $B$ существует расположение $k$ прямых, разбивающих плоскость на $C$ частей, и для каких не существует?

Требуете ли Вы, чтобы никакие 2 прямые не совпадали и никакие 3 не пересекались в одной точке. Или эти требования для Вас несущественны?

[Gordmit]

Профессор Снэйп писал(а):

Требуете ли Вы, чтобы никакие 2 прямые не совпадали и никакие 3 не пересекались в одной точке. Или эти требования для Вас несущественны?

Все $k$ прямых предполагаются различными (т.е. никакие 2 из них не совпадают). Второго требования нет (иначе это просто случай общего положения).

Кстати, добавлю, что сам я решения этой задачи не знаю.

[Профессор Снэйп]

Gordmit писал(а):

Второго требования нет (иначе это просто случай общего положения).

Так вроде бы для общего положения требуется, чтобы никакие две прямые не были параллельны. Здесь этого нет.

[Gordmit]

Профессор Снэйп писал(а):

Gordmit писал(а):

Второго требования нет (иначе это просто случай общего положения).

Так вроде бы для общего положения требуется, чтобы никакие две прямые не были параллельны. Здесь этого нет.

Да, Вы правы. В общем, прямые могут располагаться как угодно, лишь бы никакие две не совпадали.
Я просто размышлял об этой задаче на проективной плоскости, дополняя набор прямых бесконечно удаленной - тогда случай общего положения формулируется просто "никакие три прямых не пересекаются в одной точке".

[Профессор Снэйп]

Кстати, с проективной плоскостью должно быть совсем интересно.

На сколько частей делит проективную плоскость одна прямая? На две или на одну?

А две (пересекающиеся, хотя там вроде бы всё пересекается) прямые? На две, на три или на четыре?