Профессор Снэйп писал(а):
Пусть

--- натуральные числа и

. Пусть в

также заданы

гиперплоскостей, вектора нормалей к которым равны

соответственно. Доказать что
1) Количество частей, на которые эти гиперплоскости делят

, не превосходит количества линейно независимых подмножеств множества

(пустое множество также считаем линейно независимым).
2) Если никакие две из данных гиперплоскостей не совпадают и никакие

не пересекаются в одной точке, то количество частей, на которые эти гиперплоскости делят

, равно количеству линейно независимых подмножеств множества

.
обе задачи в посте сформулированы несколько странно, между тем как сама конструкция и связанные с ней вопросы хорошо известны.
В пространстве

даны k ( не упрощая дела, будем считать, что

) гиперплоскостей.
Опр. Говорят, что гиперплоскости находятся в общем положении, если любые n из них пересекаются в единственной точке, любые две пересекаются по n-2 мерной плоскости, любые 3 -- по n-3 мерной и т.д, и ни через какую точку пространства не проходит более n гиперплоскостей.
Неформально говоря (хотя можно и формализовать это утверждение), свойство общего положения характеризуется тем, что, если каждую гиперплоскость пошевелить слегка, то свойство гиперплоскостей находиться в общем положении не нарушится. На максимальное количество частей пространство разбивается именно гиперплоскостями в общем положении. Это, как и остальное, доказывается индукцией по n.
Соответственно, максимальная линейно независимая система нормальных векторов у плоскостей в общем положении состоит из n векторов. Поэтому оценка, предлагаемая в пункте 1) , слишком грубая, ведь линейнонезависимых подмножеств будет никак не меньше чем

. Действительно, легко видеть, что плоскость разбивается 4 прямыми не более чем на 11 частей, против

. Утверждение 2) просто неверно, по тойже причине.
В следующем посте, впрочем, автор исправил свои формулировки:
Профессор Снэйп писал(а):
Доказать, что максимальное количество частей, на которые

гиперплоскостей могут поделить

, равно

при

и

при

(то есть равно количеству подмножеств

-элементного множества, содержащих не более

элементов).
Задача, конечно, является тривиальным следствием предыдущей, но может быть решена и независимо от неё.
С последним тезисом, трудно не согласиться, ибо из неверных утверждений может следовать все что угодно.
Можно рапссмотреть еще такую задачу. На какое количество ограниченных областей пространство разбивают k гиперплоскостей в общем положении?