факторгруппа

[illuminates]

Немного запутался. Смотрите. Возьмём группу целых чисел $Z$ с элементами $z$. Возьмём подгруппу из чётных чисел $2Z$. У меня получилось, что $Z/2Z= \text{(чётные числа, нечётные числа)} $. Вопрос, у нас изначально была группа всех целых чисел, и мы получили что она есть фактор группа так же из всех чисел. Можно ли сказать что $Z/2Z=Z$? Равно в смысле то же самое, то есть фактор группа и есть исходная группа.

[ex-math]

Дайте определение фактор-группы.
В вашем случае она будет содержать всего два элемента.

[Xaositect]

Вспомните базовые понятия теоории множеств, элементы, подмножества, вот это все.

$\mathbb{Z}$ содержит все целые числа.
$\mathbb{Z}/2\mathbb{Z}$ содержит 2 множества, каждое из которых в свою очередь содержит целые числа, одно - все четные, другое - все нечетные.

Это две совсем разные вещи.

[illuminates]

ex-math
Фактор-группа - это множество смежных классов на нормальной подгруппе + закон умножения.
То что оно содержит два элемента, я не сильно согласен. Два множества звучит намного понятней.

Xaositect в сообщении #1109398 писал(а):

Вспомните базовые понятия теории множеств, элементы, подмножества, вот это все.

Не проходил теорию множеств.

Xaositect в сообщении #1109398 писал(а):

Это две совсем разные вещи.

Можно ли как-то "почувствовать", чем эти два множества отличаются от исходной группы?

[Lia]

illuminates в сообщении #1109409 писал(а):

Фактор-группа - это множество смежных классов

Так смежных классов-то сколько получилось?

[Brukvalub]

illuminates в сообщении #1109392 писал(а):

У меня получилось, что $Z/2Z= \text{(чётные числа, нечётные числа)} $.

Можно проще: я взял $1$ и $2$ - у меня получились $\text{(чётные числа, нечётные числа)} $. Попробуйте возразить!

[Mikhail_K]

illuminates в сообщении #1109409 писал(а):

То что оно содержит два элемента, я не сильно согласен. Два множества звучит намного понятней.

Оно содержит два элемента, являющихся множествами.
У факторгруппы всего два элемента - один есть множество чётных чисел, другой есть множество нечётных чисел.
Но ни одно конкретное число, ни чётное, ни нечётное, не является элементом факторгруппы.
Нельзя сказать, что факторгруппа есть $\mathbb{Z}$, хотя бы потому что в Вашей факторгруппе всего два элемента (и можно забыть, что это множества, в свою очередь из чего-то там состоящие), а в $\mathbb{Z}$ бесконечно много элементов (и все они числа, а не множества).

[provincialka]

illuminates в сообщении #1109409 писал(а):

Не проходил теорию множеств.

Хм... Так ведь группы -- тоже множества...
Можете попробовать представить себе другие фактор-множества. Не обязательно групповые, по любой эквивалентности. Например, банально, классы в школе. Вот, пришли первоклашки и их разбили на 1а и 1б. С одной стороны классы -- это множества. Но с другой -- существуют как единое целое. Например, в расписании уроков. Или в нагрузке учителя. Классов -- два, а учеников -- больше.

[illuminates]

Кажется до меня дошло. Спасибо!

[Munin]

Представлять себе множества как какие-то элементы, с которыми проводятся операции, может быть трудно.

Но мы можем сохранить структуру группы, заменив эти множества на что-то другое. Например, на какие-то два элемента $\copyright$ и $\pounds$ ($\copyright$ Н. Вавилов). Тогда надо будет писать не равенство, а изоморфизм групп:
$\mathbb{Z}/2\mathbb{Z}\cong(\{\copyright,\pounds\},\ldots)$
Тогда можно понять, что между этими двумя элементами есть просто обычные групповые операции, просто эти элементы представляют собой соответственно множества чётных и нечётных чисел (поставлены в соответствие этим множествам).

Ну и чуть дальше, станет ясно, что структура такой группы в точности совпадает с $\mathbb{Z}_2.$ То есть, окончательно
$\mathbb{Z}/2\mathbb{Z}\cong\mathbb{Z}_2.$
И вообще, $\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}\cong\mathbb{Z}_n.$

[illuminates]

Munin в сообщении #1109435 писал(а):

Тогда можно понять, что между этими двумя элементами есть просто обычные групповые операции

То есть говоря математическими словами, у нас не определенно непосредственно операции сложения между элементами множества? То есть для фактор-группы регламентируется лишь правило $(aH)(bH)=(ab)H$. То есть нам позволено выполнять лишь "тройное сложение": сначала сложить $a$ и $b$, а потом добавить $H$. Я правильно понимаю?

[Brukvalub]

illuminates в сообщении #1109481 писал(а):

То есть для фактор-группы регламентируется лишь правило $(aH)(bH)=(ab)H$.

Как вы смогли это понять? Неужели для этого вам потребовалось преодолеть себя и, наконец-то, прочесть определение фактор-группы? Просто не верится!

[Munin]

illuminates в сообщении #1109481 писал(а):

То есть говоря математическими словами, у нас не определенно непосредственно операции сложения между элементами множества?

Определена операция сложения между самими множествами. А элементов она вообще никак не затрагивает.

[Sinoid]

illuminates в сообщении #1109409 писал(а):

Два множества звучит намного понятней.

Но менее общно.

[Mikhail_K]

В исходной группе $\mathbb{Z}$ операция сложения определена между элементами этой группы - числами. Это самое обычное сложение: $2+2=4$.
В Вашей факторгруппе операция сложения определена между элементами этой факторгруппы. Как мы видели, этих элементов всего два. Нетрудно понять, что

$$ \text{(чётные числа)} + \text{(чётные числа)} = \text{(чётные числа)} $$

$$ \text{(чётные числа)} + \text{(нечётные числа)} = \text{(нечётные числа)} $$

$$ \text{(нечётные числа)} + \text{(чётные числа)} = \text{(нечётные числа)} $$

$$ \text{(нечётные числа)} + \text{(нечётные числа)} = \text{(чётные числа)} $$

Заметьте, что здесь складываются не какие-то конкретные числа, а элементы факторгруппы - классы чётных или нечётных чисел.
Однако, чтобы проверить, например, второе из этих равенств, надо взять одно (конкретное) чётное число и одно нечётное, сложить их - и получится обязательно нечётное число.