2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


Посмотреть правила форума



Начать новую тему Ответить на тему На страницу 1, 2  След.
 
 факторгруппа
Сообщение26.03.2016, 20:30 


22/06/12
417
Немного запутался. Смотрите. Возьмём группу целых чисел $Z$ с элементами $z$. Возьмём подгруппу из чётных чисел $2Z$. У меня получилось, что $Z/2Z= \text{(чётные числа, нечётные числа)}  $. Вопрос, у нас изначально была группа всех целых чисел, и мы получили что она есть фактор группа так же из всех чисел. Можно ли сказать что $Z/2Z=Z$? Равно в смысле то же самое, то есть фактор группа и есть исходная группа.

 Профиль  
                  
 
 Re: факторгруппа
Сообщение26.03.2016, 20:34 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


24/02/12
1842
Москва
Дайте определение фактор-группы.
В вашем случае она будет содержать всего два элемента.

 Профиль  
                  
 
 Re: факторгруппа
Сообщение26.03.2016, 20:37 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


06/10/08
6422
Вспомните базовые понятия теоории множеств, элементы, подмножества, вот это все.

$\mathbb{Z}$ содержит все целые числа.
$\mathbb{Z}/2\mathbb{Z}$ содержит 2 множества, каждое из которых в свою очередь содержит целые числа, одно - все четные, другое - все нечетные.

Это две совсем разные вещи.

 Профиль  
                  
 
 Re: факторгруппа
Сообщение26.03.2016, 21:06 


22/06/12
417
ex-math
Фактор-группа - это множество смежных классов на нормальной подгруппе + закон умножения.
То что оно содержит два элемента, я не сильно согласен. Два множества звучит намного понятней.

Xaositect в сообщении #1109398 писал(а):
Вспомните базовые понятия теории множеств, элементы, подмножества, вот это все.

Не проходил теорию множеств.

Xaositect в сообщении #1109398 писал(а):
Это две совсем разные вещи.

Можно ли как-то "почувствовать", чем эти два множества отличаются от исходной группы?

 Профиль  
                  
 
 Re: факторгруппа
Сообщение26.03.2016, 21:17 


20/03/14
12041
illuminates в сообщении #1109409 писал(а):
Фактор-группа - это множество смежных классов

Так смежных классов-то сколько получилось?

 Профиль  
                  
 
 Re: факторгруппа
Сообщение26.03.2016, 21:21 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


01/03/06
13626
Москва
illuminates в сообщении #1109392 писал(а):
У меня получилось, что $Z/2Z= \text{(чётные числа, нечётные числа)}  $.

Можно проще: я взял $1$ и $2$ - у меня получились $\text{(чётные числа, нечётные числа)} $. Попробуйте возразить! :D

 Профиль  
                  
 
 Re: факторгруппа
Сообщение26.03.2016, 21:55 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


26/01/14
4834
illuminates в сообщении #1109409 писал(а):
То что оно содержит два элемента, я не сильно согласен. Два множества звучит намного понятней.

Оно содержит два элемента, являющихся множествами.
У факторгруппы всего два элемента - один есть множество чётных чисел, другой есть множество нечётных чисел.
Но ни одно конкретное число, ни чётное, ни нечётное, не является элементом факторгруппы.
Нельзя сказать, что факторгруппа есть $\mathbb{Z}$, хотя бы потому что в Вашей факторгруппе всего два элемента (и можно забыть, что это множества, в свою очередь из чего-то там состоящие), а в $\mathbb{Z}$ бесконечно много элементов (и все они числа, а не множества).

 Профиль  
                  
 
 Re: факторгруппа
Сообщение26.03.2016, 22:10 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


18/01/13
12065
Казань
illuminates в сообщении #1109409 писал(а):
Не проходил теорию множеств.

Хм... Так ведь группы -- тоже множества...
Можете попробовать представить себе другие фактор-множества. Не обязательно групповые, по любой эквивалентности. Например, банально, классы в школе. Вот, пришли первоклашки и их разбили на 1а и 1б. С одной стороны классы -- это множества. Но с другой -- существуют как единое целое. Например, в расписании уроков. Или в нагрузке учителя. Классов -- два, а учеников -- больше.

 Профиль  
                  
 
 Re: факторгруппа
Сообщение26.03.2016, 22:35 


22/06/12
417
Кажется до меня дошло. Спасибо!

 Профиль  
                  
 
 Re: факторгруппа
Сообщение26.03.2016, 22:58 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


30/01/06
72407
Представлять себе множества как какие-то элементы, с которыми проводятся операции, может быть трудно.

Но мы можем сохранить структуру группы, заменив эти множества на что-то другое. Например, на какие-то два элемента $\copyright$ и $\pounds$ ($\copyright$ Н. Вавилов). Тогда надо будет писать не равенство, а изоморфизм групп:
$\mathbb{Z}/2\mathbb{Z}\cong(\{\copyright,\pounds\},\ldots)$
Тогда можно понять, что между этими двумя элементами есть просто обычные групповые операции, просто эти элементы представляют собой соответственно множества чётных и нечётных чисел (поставлены в соответствие этим множествам).

Ну и чуть дальше, станет ясно, что структура такой группы в точности совпадает с $\mathbb{Z}_2.$ То есть, окончательно
$\mathbb{Z}/2\mathbb{Z}\cong\mathbb{Z}_2.$
И вообще, $\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}\cong\mathbb{Z}_n.$

 Профиль  
                  
 
 Re: факторгруппа
Сообщение27.03.2016, 09:31 


22/06/12
417
Munin в сообщении #1109435 писал(а):
Тогда можно понять, что между этими двумя элементами есть просто обычные групповые операции


То есть говоря математическими словами, у нас не определенно непосредственно операции сложения между элементами множества? То есть для фактор-группы регламентируется лишь правило $(aH)(bH)=(ab)H$. То есть нам позволено выполнять лишь "тройное сложение": сначала сложить $a$ и $b$, а потом добавить $H$. Я правильно понимаю?

 Профиль  
                  
 
 Re: факторгруппа
Сообщение27.03.2016, 10:08 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


01/03/06
13626
Москва
illuminates в сообщении #1109481 писал(а):
То есть для фактор-группы регламентируется лишь правило $(aH)(bH)=(ab)H$.

Как вы смогли это понять? Неужели для этого вам потребовалось преодолеть себя и, наконец-то, прочесть определение фактор-группы? Просто не верится! :shock:

 Профиль  
                  
 
 Re: факторгруппа
Сообщение27.03.2016, 11:55 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


30/01/06
72407
illuminates в сообщении #1109481 писал(а):
То есть говоря математическими словами, у нас не определенно непосредственно операции сложения между элементами множества?

Определена операция сложения между самими множествами. А элементов она вообще никак не затрагивает.

 Профиль  
                  
 
 Re: факторгруппа
Сообщение27.03.2016, 13:18 


03/06/12
2862
illuminates в сообщении #1109409 писал(а):
Два множества звучит намного понятней.

Но менее общно.

 Профиль  
                  
 
 Re: факторгруппа
Сообщение27.03.2016, 15:28 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


26/01/14
4834
В исходной группе $\mathbb{Z}$ операция сложения определена между элементами этой группы - числами. Это самое обычное сложение: $2+2=4$.
В Вашей факторгруппе операция сложения определена между элементами этой факторгруппы. Как мы видели, этих элементов всего два. Нетрудно понять, что
$$
\text{(чётные числа)} + \text{(чётные числа)} = \text{(чётные числа)}
$$
$$
\text{(чётные числа)} + \text{(нечётные числа)} = \text{(нечётные числа)}
$$
$$
\text{(нечётные числа)} + \text{(чётные числа)} = \text{(нечётные числа)}
$$
$$
\text{(нечётные числа)} + \text{(нечётные числа)} = \text{(чётные числа)}
$$
Заметьте, что здесь складываются не какие-то конкретные числа, а элементы факторгруппы - классы чётных или нечётных чисел.
Однако, чтобы проверить, например, второе из этих равенств, надо взять одно (конкретное) чётное число и одно нечётное, сложить их - и получится обязательно нечётное число.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 16 ]  На страницу 1, 2  След.

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group