2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


Посмотреть правила форума



Начать новую тему Ответить на тему
 
 Пуассоновский процесс
Сообщение23.03.2016, 02:25 


07/03/11
690
Пусть задан случайный процесс $X_t = \sigma _t \varepsilon _t$, где $\varepsilon _t$ -- белый шум, а $$\sigma _t = \sigma \exp\left(\frac 12\sum _{i=1}^{N_t} D_i \right)$$с независимыми одинаково распределенными $D_i\sim \mathcal N(0,1)$ и $N_t$ -- пуассоновский процесс с параметром $\lambda$.
Я могу записать плотность для одного наблюдения:
$$\begin{align*} 
p(X_t\mid \sigma ^2,\lambda ) &= \int\mathcal N(X_t\mid 0, \sigma _t^2)p(\sigma _t^2\mid \sigma ^2 ,\lambda)d\sigma _t^2 \\
&=  \int\mathcal N(X_t\mid 0, \sigma _t^2)\left[\sum _{k=1}^{\infty}\ln\mathcal N (\sigma _t^2\mid \log \sigma ^2, k)\mathrm{Poiss}(k\mid \lambda t) \right]d\sigma _t ^2 \\
&= \sum _{k=1}^{\infty}\mathrm{Poiss}(k\mid \lambda t) \int\mathcal N(X_t\mid 0, \sigma _t^2) \ln\mathcal N (\sigma _t^2\mid \log \sigma ^2, k)d\sigma _t^2
\end{align*}$$
но тут проблема в том, что $p(X_{t_1}, \ldots , X_{t_n}\mid \sigma ^2,\lambda ) \neq \prod _i p(X_{t_i}\mid \sigma ^2,\lambda )$, а многомерный интеграл взять не получится, поскольку $n$ имеет порядок нескольких тысяч. Как я понимаю, метод максимума правдоподобия тут не подходит :-( Подскажите, пожалуйста, какие приемы используют в теории случайных процессов для оценки параметров?

 Профиль  
                  
 
 Re: Пуассоновский процесс
Сообщение26.03.2016, 23:23 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


05/12/09
1813
Москва
Правильно ли я поняла, что время предполагается дискретным, и шум имеет стандартное нормальное распределение?

Мне кажется, для тут можно использовать метод моментов применительно к наблюдениям $Y_n=\ln (X^2_n)$. Их среднее зависит только от $\sigma$. Среднее квадратов их разностей зависит только от $\lambda$.

 Профиль  
                  
 
 Re: Пуассоновский процесс
Сообщение27.03.2016, 09:31 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


05/12/09
1813
Москва
Более точно, можно взять величины $Z_n=(\ln(X^2_{2n+1})-\ln(X^2_{2n}))^2$, они независимы и одинаково распределены, их математическое ожидание является линейной функцией от $\lambda$, так что $\lambda$ можно оценить через выборочное среднее.

А вот состоятельной оценки $\sigma$ тут, боюсь, вообще нет. Как если бы у вас была последовательность $X_n=A+\sum_{i=1}^nD_i$, по ее наблюдениям нельзя получить состоятельную оценку $A$.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 3 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: DariaRychenkova


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group