Пуассоновский процесс

[vlad_light]

Пусть задан случайный процесс $X_t = \sigma _t \varepsilon _t$, где $\varepsilon _t$ -- белый шум, а

$$\sigma _t = \sigma \exp\left(\frac 12\sum _{i=1}^{N_t} D_i \right)$$

с независимыми одинаково распределенными $D_i\sim \mathcal N(0,1)$ и $N_t$ -- пуассоновский процесс с параметром $\lambda$.
Я могу записать плотность для одного наблюдения:

$$\begin{align*} p(X_t\mid \sigma ^2,\lambda ) &= \int\mathcal N(X_t\mid 0, \sigma _t^2)p(\sigma _t^2\mid \sigma ^2 ,\lambda)d\sigma _t^2 \\ &= \int\mathcal N(X_t\mid 0, \sigma _t^2)\left[\sum _{k=1}^{\infty}\ln\mathcal N (\sigma _t^2\mid \log \sigma ^2, k)\mathrm{Poiss}(k\mid \lambda t) \right]d\sigma _t ^2 \\ &= \sum _{k=1}^{\infty}\mathrm{Poiss}(k\mid \lambda t) \int\mathcal N(X_t\mid 0, \sigma _t^2) \ln\mathcal N (\sigma _t^2\mid \log \sigma ^2, k)d\sigma _t^2 \end{align*}$$

но тут проблема в том, что $p(X_{t_1}, \ldots , X_{t_n}\mid \sigma ^2,\lambda ) \neq \prod _i p(X_{t_i}\mid \sigma ^2,\lambda )$, а многомерный интеграл взять не получится, поскольку $n$ имеет порядок нескольких тысяч. Как я понимаю, метод максимума правдоподобия тут не подходит Подскажите, пожалуйста, какие приемы используют в теории случайных процессов для оценки параметров?

[alisa-lebovski]

Правильно ли я поняла, что время предполагается дискретным, и шум имеет стандартное нормальное распределение?

Мне кажется, для тут можно использовать метод моментов применительно к наблюдениям $Y_n=\ln (X^2_n)$. Их среднее зависит только от $\sigma$. Среднее квадратов их разностей зависит только от $\lambda$.

[alisa-lebovski]

Более точно, можно взять величины $Z_n=(\ln(X^2_{2n+1})-\ln(X^2_{2n}))^2$, они независимы и одинаково распределены, их математическое ожидание является линейной функцией от $\lambda$, так что $\lambda$ можно оценить через выборочное среднее.

А вот состоятельной оценки $\sigma$ тут, боюсь, вообще нет. Как если бы у вас была последовательность $X_n=A+\sum_{i=1}^nD_i$, по ее наблюдениям нельзя получить состоятельную оценку $A$.