2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


Посмотреть правила форума



Начать новую тему Ответить на тему
 
 Пуассоновский процесс
Сообщение23.03.2016, 02:25 


07/03/11
690
Пусть задан случайный процесс $X_t = \sigma _t \varepsilon _t$, где $\varepsilon _t$ -- белый шум, а $$\sigma _t = \sigma \exp\left(\frac 12\sum _{i=1}^{N_t} D_i \right)$$с независимыми одинаково распределенными $D_i\sim \mathcal N(0,1)$ и $N_t$ -- пуассоновский процесс с параметром $\lambda$.
Я могу записать плотность для одного наблюдения:
$$\begin{align*} 
p(X_t\mid \sigma ^2,\lambda ) &= \int\mathcal N(X_t\mid 0, \sigma _t^2)p(\sigma _t^2\mid \sigma ^2 ,\lambda)d\sigma _t^2 \\
&=  \int\mathcal N(X_t\mid 0, \sigma _t^2)\left[\sum _{k=1}^{\infty}\ln\mathcal N (\sigma _t^2\mid \log \sigma ^2, k)\mathrm{Poiss}(k\mid \lambda t) \right]d\sigma _t ^2 \\
&= \sum _{k=1}^{\infty}\mathrm{Poiss}(k\mid \lambda t) \int\mathcal N(X_t\mid 0, \sigma _t^2) \ln\mathcal N (\sigma _t^2\mid \log \sigma ^2, k)d\sigma _t^2
\end{align*}$$
но тут проблема в том, что $p(X_{t_1}, \ldots , X_{t_n}\mid \sigma ^2,\lambda ) \neq \prod _i p(X_{t_i}\mid \sigma ^2,\lambda )$, а многомерный интеграл взять не получится, поскольку $n$ имеет порядок нескольких тысяч. Как я понимаю, метод максимума правдоподобия тут не подходит :-( Подскажите, пожалуйста, какие приемы используют в теории случайных процессов для оценки параметров?

 Профиль  
                  
 
 Re: Пуассоновский процесс
Сообщение26.03.2016, 23:23 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


05/12/09
1813
Москва
Правильно ли я поняла, что время предполагается дискретным, и шум имеет стандартное нормальное распределение?

Мне кажется, для тут можно использовать метод моментов применительно к наблюдениям $Y_n=\ln (X^2_n)$. Их среднее зависит только от $\sigma$. Среднее квадратов их разностей зависит только от $\lambda$.

 Профиль  
                  
 
 Re: Пуассоновский процесс
Сообщение27.03.2016, 09:31 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


05/12/09
1813
Москва
Более точно, можно взять величины $Z_n=(\ln(X^2_{2n+1})-\ln(X^2_{2n}))^2$, они независимы и одинаково распределены, их математическое ожидание является линейной функцией от $\lambda$, так что $\lambda$ можно оценить через выборочное среднее.

А вот состоятельной оценки $\sigma$ тут, боюсь, вообще нет. Как если бы у вас была последовательность $X_n=A+\sum_{i=1}^nD_i$, по ее наблюдениям нельзя получить состоятельную оценку $A$.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 3 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group