Помогите разобраться в элементарной тополгии дурачку:-)

[lim]

Добра в хату, друзья!
У меня есть пара вопрос по топологии... Не втыкаю совсем.
1. Пусть $\tau=\{(a,b)\colon a>0 \wedge a\leq +\infty; b<0 \wedgw b\geq -\infty\}\cup \emptyset$ --- топология на $\mathbb{R}$.
Надо доказать, что в этой топологии есть всюду плотное, если и только если $\{x_n\}^{\infty}_{n=1} \to 0$ в обычной топологии.
Я не понял совсем. Можете подпинуть в каком направлении думать? Спасибо.

[gris]

Что является открытыми множествами в этом пространстве? Если словами сказать?
Каково определение или критерий всюду плотного множества в терминах пересечения его с другими множествами.
Ну и сопрягайте

[lim]

gris

В этом пространстве открыты интервалы:)
Множество всюду плотно, если внутренность дополнения пуста. Такое нужно?

(Мог бы сопрячь, не писал бы... Совсем не одупляю.)

[gris]

А вот интервал $(2015,2016)$ — открытое множество в данной топологии? А отрезок $[-6,6]$?
Вы, кстати, не написали, какое множество всюду плотно. Я так понял, что множество, в котором есть эта самая $\{x_n\to 0\}$.

[Mikhail_K]

lim в сообщении #1108547 писал(а):

Пусть $\tau=\{(a,b)\colon a>0 \wedge a\leq +\infty; b<0 \wedgw b\geq -\infty\}\cup \emptyset$ --- топология на $\mathbb{R}$.

Какая-то странная формулировка. Обычно не пишут $(a,b)$, если $a>b$ - а тут именно так. Понять можно, но может формулировка всё-таки другая?
Ну и кроме того, очевидно, что приведённое семейство множеств - это всё-таки не топология, а, максимум, база топологии.
Вопрос задачи, честно говоря, тоже какой-то корявый.

[gris]

В вопросе слов не хватает Можно сказать, что база. По-моему, это не влияет.
Пусть ТС напишет вопрос полностью, а то я понял его по-своему, но мне кажется, что в обе стороны работает.Чего-то уже поздно и не соображу, почему это не топология и почему утверждение неверно

[quartermind]

Все равно, если вопрос задачи понимать так, как gris, то там ещё и просят доказать неверное утверждение.

[Mikhail_K]

Mikhail_K в сообщении #1108563 писал(а):

Ну и кроме того, очевидно, что приведённое семейство множеств - это всё-таки не топология, а, максимум, база топологии.

gris в сообщении #1108564 писал(а):

Чего-то уже поздно и не соображу, почему это не топология

Похоже, я что-то не то сказал. Эта штука всё-таки является топологией.

[gris]

Mikhail_K, меня тоже вначале смутило обозначение $a\leqslant +\infty$. Вернее, я и не увидел равенства и посчитал эту систему базой. Для базы было бы достаточно и уместно корректное $a< +\infty$. Но при описании системы интервалов обозначение с нестрогим неравенством, наверное, можно формально допустить, чтобы не включать отдельно бесконечные интервалы.

[DeBill]

lim в сообщении #1108554 писал(а):

Совсем не одупляю.)

И это хорошо видно по формулировке задачи: я бы от такой формулировки тоже окосел (откуда взялась последовательность? Чью, блин, плотность мы хотим поиметь?)
Но, видимо, речь все-таки идет о задаче, сформулированной gris: доказать, что множество $X$ плотно, если и токо если оно содержит последоавтельность , сходящуюся к 0 в обычной топологии. И это уже вполне приличная задача. Пример : Множество $\{ 0 \}$ - плотно....
О плотности: удобно использовать такое определение: $X$ - плотно - значит, в любом открытом есть точки из $X$.
Получилось: Вам надо (точнее, достаточно) доказать, что:
а) Если $\{x_n\to 0\}$, то в любом Вашем интервале есть точки этой последовательности
б) Если в любом интервале $(-\frac{1}{n},\frac{1}{n})$ есть точки из $X$, то есть и последовательность...
Ну - вперед!

[lim]

1. Кто-то там, говорил что так кривовато задано --- я сам не в радости. Почём взял --- потом и продаю. Как было.
2. Это топология.
3. Хорошо, спасибо, я кажется начал чуть-чуть вкатываться:) В конце дня думаю смогу написать решение.

[lim]

DeBill в сообщении #1108597 писал(а):

а) Если $\{x_n\to 0\}$, то в любом Вашем интервале есть точки этой последовательности

Вот это-то я понимаю) Я оформить не могу. Вот смотрите: пусть у нас эта последовательность к нулю идёт --- потыкайте в меня отверткой: ну пусть эта последовательность $x_n=\frac{1}{n}$. И пусть у нас наше множество (такое, что в нём типа нет этих точек)
$A=(c;d)$. Тогда рассмотрим $\{y_n\}_{n=1}^{\infty}\colon y_i=x_i\cdot\frac{d-c}{2}$. И в нашем множестве содержится элемент этой последовательности. Так или я слишком добро мыслю о открытом множестве и это совсем не факт открытый интервал ?
Спасибо.

[Brukvalub]

lim в сообщении #1108730 писал(а):

ну пусть эта последовательность $x_n=\frac{1}{n}$. И пусть у нас наше множество (такое, что в нём типа нет этих точек)
$A=(c;d)$.

Приведите пример не абстрактного, а КОНКРЕТНОГО множества $A=(c;d)$ из рассматриваемой в задаче топологии, такого, что "что в нём типа нет этих точек".

[lim]

Brukvalub

Не могу. Всё, что не беру прокатывает моим решением. Пусть $A=(-7;16)$. Тогда $\{y_n\}$ просто стартует с $4,5$.

[Someone]

lim в сообщении #1108739 писал(а):

прокатывает моим решением

У Вас пока нет решения.

lim в сообщении #1108730 писал(а):

Вот смотрите: пусть у нас эта последовательность к нулю идёт --- потыкайте в меня отверткой: ну пусть эта последовательность $x_n=\frac{1}{n}$. И пусть у нас наше множество (такое, что в нём типа нет этих точек)
$A=(c;d)$. Тогда рассмотрим $\{y_n\}_{n=1}^{\infty}\colon y_i=x_i\cdot\frac{d-c}{2}$. И в нашем множестве содержится элемент этой последовательности.

Извините, но Вы должны найти элемент $x_i\in(c;d)$. Посторонний элемент $y_i$ не годится.

А Вы можете точно сформулировать определение предела числовой последовательности в стандартной топологии $\mathbb R$?