2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


Посмотреть правила форума



Начать новую тему Эта тема закрыта, вы не можете редактировать и оставлять сообщения в ней. На страницу 1, 2, 3  След.
 
 Помогите разобраться в элементарной тополгии дурачку:-)
Сообщение22.03.2016, 23:28 


10/10/14

54
Russia
Добра в хату, друзья!
У меня есть пара вопрос по топологии... Не втыкаю совсем.
1. Пусть $\tau=\{(a,b)\colon a>0 \wedge a\leq +\infty; b<0 \wedgw b\geq -\infty\}\cup \emptyset$ --- топология на $\mathbb{R}$.
Надо доказать, что в этой топологии есть всюду плотное, если и только если $\{x_n\}^{\infty}_{n=1} \to 0$ в обычной топологии.
Я не понял совсем. Можете подпинуть в каком направлении думать? Спасибо.

 Профиль  
                  
 
 Re: Помогите разобраться в элементарной тополгии дурачку:-)
Сообщение22.03.2016, 23:53 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


13/08/08
14494
Что является открытыми множествами в этом пространстве? Если словами сказать?
Каково определение или критерий всюду плотного множества в терминах пересечения его с другими множествами.
Ну и сопрягайте :-)

 Профиль  
                  
 
 Re: Помогите разобраться в элементарной тополгии дурачку:-)
Сообщение23.03.2016, 00:04 


10/10/14

54
Russia
gris

В этом пространстве открыты интервалы:)
Множество всюду плотно, если внутренность дополнения пуста. Такое нужно?

(Мог бы сопрячь, не писал бы... Совсем не одупляю.)

 Профиль  
                  
 
 Re: Помогите разобраться в элементарной тополгии дурачку:-)
Сообщение23.03.2016, 00:28 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


13/08/08
14494
А вот интервал $(2015,2016)$ — открытое множество в данной топологии? А отрезок $[-6,6]$?
Вы, кстати, не написали, какое множество всюду плотно. Я так понял, что множество, в котором есть эта самая $\{x_n\to 0\}$.

 Профиль  
                  
 
 Re: Помогите разобраться в элементарной тополгии дурачку:-)
Сообщение23.03.2016, 00:38 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


26/01/14
4831
lim в сообщении #1108547 писал(а):
Пусть $\tau=\{(a,b)\colon a>0 \wedge a\leq +\infty; b<0 \wedgw b\geq -\infty\}\cup \emptyset$ --- топология на $\mathbb{R}$.

Какая-то странная формулировка. Обычно не пишут $(a,b)$, если $a>b$ - а тут именно так. Понять можно, но может формулировка всё-таки другая?
Ну и кроме того, очевидно, что приведённое семейство множеств - это всё-таки не топология, а, максимум, база топологии.
Вопрос задачи, честно говоря, тоже какой-то корявый.

 Профиль  
                  
 
 Re: Помогите разобраться в элементарной тополгии дурачку:-)
Сообщение23.03.2016, 00:45 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


13/08/08
14494
В вопросе слов не хватает :-) Можно сказать, что база. По-моему, это не влияет.
Пусть ТС напишет вопрос полностью, а то я понял его по-своему, но мне кажется, что в обе стороны работает.Чего-то уже поздно и не соображу, почему это не топология и почему утверждение неверно :oops:

 Профиль  
                  
 
 Re: Помогите разобраться в элементарной тополгии дурачку:-)
Сообщение23.03.2016, 02:06 
Аватара пользователя


31/03/13
25
Все равно, если вопрос задачи понимать так, как gris, то там ещё и просят доказать неверное утверждение.

 Профиль  
                  
 
 Re: Помогите разобраться в элементарной тополгии дурачку:-)
Сообщение23.03.2016, 07:37 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


26/01/14
4831
Mikhail_K в сообщении #1108563 писал(а):
Ну и кроме того, очевидно, что приведённое семейство множеств - это всё-таки не топология, а, максимум, база топологии.

gris в сообщении #1108564 писал(а):
Чего-то уже поздно и не соображу, почему это не топология

Похоже, я что-то не то сказал. Эта штука всё-таки является топологией.

 Профиль  
                  
 
 Re: Помогите разобраться в элементарной тополгии дурачку:-)
Сообщение23.03.2016, 10:49 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


13/08/08
14494
Mikhail_K, меня тоже вначале смутило обозначение $a\leqslant +\infty$. Вернее, я и не увидел равенства и посчитал эту систему базой. Для базы было бы достаточно и уместно корректное $a< +\infty$. Но при описании системы интервалов обозначение с нестрогим неравенством, наверное, можно формально допустить, чтобы не включать отдельно бесконечные интервалы.

 Профиль  
                  
 
 Re: Помогите разобраться в элементарной тополгии дурачку:-)
Сообщение23.03.2016, 10:55 
Заслуженный участник


10/01/16
2318
lim в сообщении #1108554 писал(а):
Совсем не одупляю.)

:D И это хорошо видно по формулировке задачи: я бы от такой формулировки тоже окосел (откуда взялась последовательность? Чью, блин, плотность мы хотим поиметь?)
Но, видимо, речь все-таки идет о задаче, сформулированной gris: доказать, что множество $X$ плотно, если и токо если оно содержит последоавтельность , сходящуюся к 0 в обычной топологии. И это уже вполне приличная задача. Пример : Множество $\{ 0 \}$ - плотно....
О плотности: удобно использовать такое определение: $X$ - плотно - значит, в любом открытом есть точки из $X$.
Получилось: Вам надо (точнее, достаточно) доказать, что:
а) Если $\{x_n\to 0\}$, то в любом Вашем интервале есть точки этой последовательности
б) Если в любом интервале $(-\frac{1}{n},\frac{1}{n})$ есть точки из $X$, то есть и последовательность...
Ну - вперед!

 Профиль  
                  
 
 Re: Помогите разобраться в элементарной тополгии дурачку:-)
Сообщение23.03.2016, 18:38 


10/10/14

54
Russia
1. Кто-то там, говорил что так кривовато задано --- я сам не в радости. Почём взял --- потом и продаю. Как было.
2. Это топология.
3. Хорошо, спасибо, я кажется начал чуть-чуть вкатываться:) В конце дня думаю смогу написать решение.

 Профиль  
                  
 
 Re: Помогите разобраться в элементарной тополгии дурачку:-)
Сообщение23.03.2016, 23:42 


10/10/14

54
Russia
DeBill в сообщении #1108597 писал(а):
а) Если $\{x_n\to 0\}$, то в любом Вашем интервале есть точки этой последовательности


Вот это-то я понимаю) Я оформить не могу. Вот смотрите: пусть у нас эта последовательность к нулю идёт --- потыкайте в меня отверткой: ну пусть эта последовательность $x_n=\frac{1}{n}$. И пусть у нас наше множество (такое, что в нём типа нет этих точек)
$A=(c;d)$. Тогда рассмотрим $\{y_n\}_{n=1}^{\infty}\colon y_i=x_i\cdot\frac{d-c}{2}$. И в нашем множестве содержится элемент этой последовательности. Так или я слишком добро мыслю о открытом множестве и это совсем не факт открытый интервал ?
Спасибо.

 Профиль  
                  
 
 Re: Помогите разобраться в элементарной тополгии дурачку:-)
Сообщение23.03.2016, 23:47 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


01/03/06
13626
Москва
lim в сообщении #1108730 писал(а):
ну пусть эта последовательность $x_n=\frac{1}{n}$. И пусть у нас наше множество (такое, что в нём типа нет этих точек)
$A=(c;d)$.

Приведите пример не абстрактного, а КОНКРЕТНОГО множества $A=(c;d)$ из рассматриваемой в задаче топологии, такого, что "что в нём типа нет этих точек".

 Профиль  
                  
 
 Re: Помогите разобраться в элементарной тополгии дурачку:-)
Сообщение24.03.2016, 00:45 


10/10/14

54
Russia
Brukvalub

Не могу. Всё, что не беру прокатывает моим решением. Пусть $A=(-7;16)$. Тогда $\{y_n\}$ просто стартует с $4,5$.

 Профиль  
                  
 
 Re: Помогите разобраться в элементарной тополгии дурачку:-)
Сообщение24.03.2016, 19:25 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


23/07/05
17975
Москва
lim в сообщении #1108739 писал(а):
прокатывает моим решением
У Вас пока нет решения.

lim в сообщении #1108730 писал(а):
Вот смотрите: пусть у нас эта последовательность к нулю идёт --- потыкайте в меня отверткой: ну пусть эта последовательность $x_n=\frac{1}{n}$. И пусть у нас наше множество (такое, что в нём типа нет этих точек)
$A=(c;d)$. Тогда рассмотрим $\{y_n\}_{n=1}^{\infty}\colon y_i=x_i\cdot\frac{d-c}{2}$. И в нашем множестве содержится элемент этой последовательности.
Извините, но Вы должны найти элемент $x_i\in(c;d)$. Посторонний элемент $y_i$ не годится.

А Вы можете точно сформулировать определение предела числовой последовательности в стандартной топологии $\mathbb R$?

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Эта тема закрыта, вы не можете редактировать и оставлять сообщения в ней.  [ Сообщений: 41 ]  На страницу 1, 2, 3  След.

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group