Мастер-класс: виртуальные частицы

[arseniiv]

rockclimber в сообщении #1106441 писал(а):

А что является измерениями в этом пространстве? $E$, $p$, $m$? И есть ли какая-нибудь визуализация этого?

Ага. Ведь в релятивистской теории они все имеют одну и ту же размерность. Это получается четырёхмерное пространство, изоморфное пространству Минковского, но состоящее из всяческих 4-импульсов $(E,\mathbf p)$, и гиперболоиды и конусы — это его «сферы», инвариантные относительно преобразований Лоренца, и каждой соответствует своё значение $m$. Конусу, понятно, ноль, двуполостным гиперболоидам — действительное, однополостным — мнимое, и чем дальше от конуса, тем больше по модулю. (Как с интервалами, опять же, раз аналогия точная.)

Если к этому можно добавить ещё какие-то полезные представления, присоединяюсь к вопросу.

[Munin]

rockclimber в сообщении #1106441 писал(а):

А что является измерениями в этом пространстве? $E$, $p$, $m$? И есть ли какая-нибудь визуализация этого? Мне так проще в уме представлять.

$(E,p_x,p_y,p_z).$ Это стандартное пространство 4-векторов энергии-импульса.

В СТО многие величины классической механики объединяются в 4-векторы. Бывают и 4-тензоры. Подробно про это можно прочитать в ЛЛ-2, например. Или в ФЛФ, разбросанно от 2 до 6 тома. Каждый из таких 4-векторов образует своё пространство.

Визуализация: обычно говорят "возьмём чуть поменьше пространственных координат 4-векторов", и рассматривают 3-мерное пространство $(E,p_x,p_y),$ или иногда 2-мерную плоскость $(E,p_x).$ В первом случае - пользуются обычными пространственными образами конусов, гиперболоидов и т. п. Во втором - они превращаются даже в гиперболы и прямые линии. Но поскольку всё это - упрощение, то на словах продолжают говорить про конусы и гиперболоиды.

Полностью все 4 координаты, с тремя пространственными, нужны не всегда, а сравнительно редко. Ну, например, есть такая задача: летела одна частица, и распалась на три другие частицы. В пространстве все 4 импульса (читается так: "в 3-мерном пространстве все 4 штуки 3-векторов импульса") располагаются некомпланарно, так что их никак не упростишь, приходится оставлять пространство полностью. Но если перейти в систему отсчёта первоначальной частицы (а это всегда можно сделать), то окажется, что 3-векторы импульса лежат в одной пространственной плоскости. И можно отбросить третью перпендикулярную координату.

4-тензоры визуализировать ещё сложней. Ну, с этим просто не будем торопиться. Тут ещё и спиноры...

rockclimber в сообщении #1106441 писал(а):

Не очень понял, это так? Выразить $k$ через $\omega$ (или наоборот) и подставить в $\varphi=\varphi_0\,e^{-i(\omega t-kx)}+C$?

Да, вполне годится.

-- 14.03.2016 12:56:08 --

rockclimber в сообщении #1106441 писал(а):

Тут я не понял: $f(\omega t-kx)$ - это просто какая-то (то есть потенциально любая) функция от $(\omega t-kx)$?

Да, правильно.

Так, по этому заданию нужна уже подсказка, я гляжу. Чтобы не путаться.

Что такое $f(\omega t-kx)$? Это функция от одного аргумента. А сам аргумент равен $\omega t-kx.$ То есть, по сути, мы имеем здесь композицию функций:
$f(\omega t-kx)=f(g(t,x)),$ где
$f=f(g)$ - просто некая функция одного аргумента, а
$g=g(t,x)=\omega t-kx$ - другая функция, принимающая на вход два аргумента, а на выход выдающая одно число.

Дальше я покажу одну частную производную, а потом вы сами.
$\dfrac{\partial\varphi}{\partial t}=\dfrac{\partial f(\omega t-kx)}{\partial t}=\dfrac{\partial f(g(t,x))}{\partial t}=\dfrac{df}{dg}\dfrac{\partial g(t,x)}{\partial t}$
по правилу дифференцирования сложной функции. И дальше:
$\ldots=\dfrac{df}{dg}\dfrac{\partial(\omega t-kx)}{\partial t}=\dfrac{df}{dg}\cdot\omega=\omega\,f'(\omega t-kx).$
Это понятно?

rockclimber в сообщении #1106441 писал(а):

Так как $f(t,x)$ и $g(t,x)$ - валидные решения, то каждая из скобок равна нулю, то есть такая комбинация валидных решений сама является валидным решением.

Правильно.

rockclimber в сообщении #1106441 писал(а):

Здесь то же самое: появляется тот же множитель $(k^2 - \omega^2).$

Совершенно верно.

rockclimber в сообщении #1106441 писал(а):

Я хотел ответить на все вопросы, а потом уже публиковать ответ, но так что-то долго получается.

Ничего, не торопитесь. Мы тут и так пытаемся чуть ли не семестровую программу за раз проглотить.

-- 14.03.2016 13:08:58 --

rockclimber в сообщении #1106441 писал(а):

Что такое $\delta(x)$? Просто какая-то функция или функция с какими-то особыми свойствами?

Это так называемая "дельта-функция" (дельта-функция Дирака). На самом деле, это даже не функция, это "незаконная функция". Упрощённо говоря, можно представить себе её так:
$\delta(x)=\begin{cases} 0, & x\ne 0 \\ +\infty, & x=0. \end{cases}$
Но такой "функции" не может быть, потому что нет никакого действительного числа, которому она равна в нуле. То есть, это не функция, а некое условное обозначение - обозначение некоей "точки единичной массы" в начале координат. Если мы будем брать распределение масс, например, равномерное по отрезку
$\rho_a(x)=\begin{cases} 0, & x\not\in(-a/2,a/2) \\ 1/a, & x\in(-a/2,a/2), \end{cases}$
то чем короче отрезок, тем больше у нас будет плотность на отрезке, чтобы сохранить полную массу единичной. И в пределе $a\to 0$ плотность вся будет сосредоточена в одной точке, а по своему значению уйдёт в бесконечность. Вот то, что при этом получается, и называется дельта-функцией.

Хотя вычислить значение дельта-функции в точке 0 нельзя, но с дельта-функцией можно законно обращаться, беря от неё разные интегралы. Например, прежде всего:
$\displaystyle\int\limits_{-\infty}^{+\infty}\delta(x)\,dx=1$
$\displaystyle\int\limits_{-\infty}^{x}\delta(\xi)\,d\xi=\begin{cases} 0, & x<0 \\ 1, & x>0 \end{cases}$
Второй интеграл тоже имеет своё название - это "функция Хэвисайда" или "единичная ступенька". То есть, дельта-функцию можно определить как производную от функции Хэвисайда (сначала уточнив смысл, в котором будет "законно" брать такую "производную").

Если мы хотим сделать "точку заданной массы в заданном месте", то пишут $m\,\delta(x-x_0.)$
Если мы хотим сделать "точку единичной массы в трёхмерном пространстве", то пишут $\delta(x)\,\delta(y)\,\delta(z).$ Такая точка не получается "кубической", то есть не требует поправок при повороте системы координат. Ещё это же пишут иногда в виде $\delta(\mathbf{r}),\delta^3(\mathbf{r})$ - тут бывает разнобой в обозначениях, и надо смотреть, какие обозначения вводит автор.

Дельта-функция помогает установить одну из важных аналогий между матанализом и линейной алгеброй. А именно, функцию можно представить себе как "бесконечномерный вектор", компоненты (координаты) которого - это просто значения функции в разных точках. Но тогда возникает вопрос, а что такое базисные векторы? В линейной алгебре мы записываем разложение

$$\vec{v}=\sum_i v^i\,\vec{e}_i,$$

где $v_i$ - числа, значения координат вектора, а $\vec{e}_i$ - базисные векторы, пронумерованные индексом, пробегающим значения $1,\ldots,n.$ А в матанализе (точнее, уже в функциональном анализе) по аналогии можно записать

$$f(x)=\int\limits_{-\infty}^{+\infty}f(\xi)\,\delta(x-\xi)\,d\xi,$$

где $f(\xi)$ - числа, выполняющие роль "координат вектора", а $\delta(x-\xi)$ - функции, выполняющие роль "базисных векторов". Они "пронумерованы" параметром $\xi,$ пробегающим значения $(-\infty,+\infty).$ И дальше эта аналогия используется для рассмотрения линейных дифференциальных уравнений (аналогично матричным уравнениям $A\vec{x}=0,A\vec{x}=\vec{v}$), для рассмотрения линейных операторов, и так далее. Например, именно в этом смысле используются понятия "оператор дифференцирования", "дифференциальный оператор" и т. п.

[Munin]

rockclimber в сообщении #1106441 писал(а):

И еще один вопрос вдогонку. Само уравнение $\dfrac{\partial^2\varphi}{\partial t^2}-\dfrac{\partial^2\varphi}{\partial x^2}-\dfrac{\partial^2\varphi}{\partial y^2}-\dfrac{\partial^2\varphi}{\partial z^2}=\rho$ откуда берется? Но если этот вопрос слишком объемный или уводит в сторону, можно на потом отложить.

Пожалуй, да, объёмный.

Пунктирно так:
1. Уравнения такого типа возникали в физике при рассмотрении различных колебаний и волн, например, звуковых колебаний и волн в воздухе, электромагнитных колебаний и волн в электромагнетизме и оптике.
2. Эти уравнения возникают математически при попытке сконструировать простейшее уравнение с определёнными свойствами - а именно, чтобы оно пропускало волны одинаково по всем пространственным направлениям.
3. Эти же уравнения возникают и в теории относительности как результат требования, чтобы уравнение выглядело одинаково во всех системах отсчёта.
Поэтому, такие уравнения принято постулировать в физике и для новых, неизвестных явлений, удовлетворяющих неким априорным требованиям (существование волн, независимость от систем отсчёта).
4. Это удобная теоретическая модель (toy model), на которой можно упражняться, и найти какие-то характерные свойства реальных явлений.
5. Это часто бывает хорошим первым приближением для более сложных уравнений и законов, описывающих явления более полно и точно. Не секрет, что в физике одним из наиболее эффективных методов исследования является метод последовательных приближений.

В общем, я для вас в этой теме предложил это уравнение именно в роли 4, toy model. Хотя, если обсуждать виртуальные фотоны, это может играть роль и 5, первого приближения. Дальше для фотонов надо учесть только поляризацию и квантованность. "Всего ничего" :-)

[rockclimber]

Спасибо, пойду переваривать.

[Freude]

Я в этой теме в роли учащегося. А как связаны виртуальные частицы с калибровочной инвариантностью? Не возникают ли они как частный случай какой-то одной калибровки?

[Munin]

Охоспади. Ещё раз: это не тема для задавания любых вопросов. У нас есть тема, программа, мы её придерживаемся. Присоединяйтесь, если хотите, но для этого надо уточнить ваш уровень, и пройти то, что другие уже прошли.

Freude в сообщении #1106593 писал(а):

А как связаны виртуальные частицы с калибровочной инвариантностью? Не возникают ли они как частный случай какой-то одной калибровки?

Изначально - никак не связаны. То есть, они возникают в любых калибровках. Хотя в зависимости от калибровки могут отличаться конкретные правила реализации. Так что, когда вы смотрите на какой-то набор диаграммных правил, уточняйте, в какой конкретной калибровке он указан. Довольно популярна фейнмановская калибровка.

В неинвариантных теориях виртуальные частицы тоже возникают. То есть, в каком-то смысле, это два "ортогональных" явления. Калибровка говорит что-то о классическом уравнении. Виртуальные частицы - о квазиклассическом квантовании этого уравнения.

Но не всё так просто. В неабелевых калибровочных теориях возникает новый тип виртуальных частиц - "духи" (духи Фаддеева-Попова). Это такие виртуальные частицы, которые никогда не бывают реальными. Кроме того, у них есть и другие особенности. К сожалению, в этой области я плаваю. Но мне смутно помнится, что они как раз могут зависеть от калибровки или чего-то подобного.

[rockclimber]

Munin в сообщении #1106616 писал(а):

Присоединяйтесь, если хотите, но для этого надо уточнить ваш уровень, и пройти то, что другие уже прошли.

Кстати, с самого начала хотел спросить. Пока я был единственным "учащимся", это было не так актуально. Вот вы дали задания: перевести текст, написать несколько формул. Я сделал. Или кто-то доделает ту часть, которую я еще не доделал. Ответы всем видны (да еще вдобавок вы подтвердили их правильность). Что делать остальным? Делать еще раз, как будто ничего не было?

[arseniiv]

Можно, в принципе, не читать вашего решения. Тогда притворяться перед собой, что не видел его, не придётся.

[Munin]

rockclimber в сообщении #1106628 писал(а):

Что делать остальным? Делать еще раз, как будто ничего не было?

Я думаю, да :-) Ну, у нас тут не экзамен, честность каждого - в его же интересах.

[rockclimber]

Munin в сообщении #1104597 писал(а):

Возьмём решение $\varphi=F_1(x)=-|x|.$ Проверьте подстановкой, что оно удовлетворяет волновому уравнению в 2 измерениях с $\rho=\delta(x).$

Продолжу, а то что-то забросил совсем.
$\dfrac {\partial^2 \varphi} {\partial t^2} = 0$

$\dfrac {\partial \varphi} {\partial x} = -\dfrac {x} {|x|} , x \ne 0 $

$\dfrac {\partial^2 \varphi} {\partial x^2} = -\dfrac {x' \, |x| - |x|' \, x} {|x|^2} = -\dfrac {|x| - \frac {x} {|x|} \, x } {x^2} = -\dfrac {\frac {|x|^2} {|x|} - \frac {x^2} {|x|} } {x^2} = 0 , x \ne 0 $

Решение как бы подходит, но я пока не разобрался, что делать с производной модуля в нуле и как сюда приткнуть $\delta(x)$. Подозреваю, что это связанные вещи.

Munin в сообщении #1104597 писал(а):

Возьмём решение $\varphi=F_3(x,y,z)=-1/\sqrt{x^2+y^2+z^2}.$ Проверьте подстановкой, что оно удовлетворяет волновому уравнению в 4 измерениях с $\rho=\delta(x)\,\delta(y)\,\delta(z).$

$\dfrac {\partial^2 \varphi} {\partial t^2} = 0$

Сделаем замену: $u = x^2+y^2+z^2$

$\varphi = u^{-\frac {1} {2}} $

$\dfrac {\partial \varphi} {\partial x} = -(-\frac {1} {2}) \, 2x \, u^{-\frac {3} {2}} = x \, u^{-\frac {3} {2}}$

$\dfrac {\partial^2 \varphi} {\partial x^2} = -3x^2 \, u^{-\frac {5} {2}} $

Аналогично:

$\dfrac {\partial^2 \varphi} {\partial y^2} = -3y^2 \, u^{-\frac {5} {2}} $

$\dfrac {\partial^2 \varphi} {\partial z^2} = -3z^2 \, u^{-\frac {5} {2}} $

Подставляем в уравнение:

$\dfrac {\partial^2 \varphi} {\partial t^2} - \dfrac {\partial^2 \varphi} {\partial x^2} - \dfrac {\partial^2 \varphi} {\partial y^2} - \dfrac {\partial^2 \varphi} {\partial z^2} = 0 - (-3x^2 \, u^{-\frac {5} {2}} ) - (-3y^2 \, u^{-\frac {5} {2}}) - (-3z^2 \, u^{-\frac {5} {2}}) = 3 u^{-\frac {5} {2}} (x^2 + y^2 + z^2) = 3 (x^2 + y^2 + z^2) ^{-\frac {3} {2}}$

Тут вроде получается, что не подходит, но я не знаю, что делать с $\rho=\delta(x)\,\delta(y)\,\delta(z)$.

[amon]

rockclimber в сообщении #1108529 писал(а):

Решение как бы подходит, но я пока не разобрался, что делать с производной модуля в нуле и как сюда приткнуть $\delta(x)$. Подозреваю, что это связанные вещи.

Пока ведущий отсутствует. Не очень строго.

$$ \int\limits_{-\infty}^{x}\delta(y)\;dy=\left\{\begin{align}&0\text{ если}\;x<0\\&1\text{ если}\;x>0\end{align}\right. $$

Функция справа - Хевисайдовская ступенька $\theta(x)$. Тогда, если это прочитать в другую сторону, то $\theta(x)'=\delta(x)$.

[rockclimber]

amon
Спасибо, но это все было в посте Munin чуть раньше. Я не понимаю, что дальше с этим делать. Нашел только что одну уловку, но знаю, насколько она корректна с точки зрения математики. Изначально, задание, которое дал Munin, звучало так: есть уравнение

$\dfrac {\partial^2 \varphi} {\partial t^2} - \dfrac {\partial^2 \varphi} {\partial x^2} = \rho $

есть решение $F = -|x|$, надо проверить подстановкой, что решение подходит, если $\rho = \delta (x)$.
У меня был вопрос именно по подстановке модуля в уравнение.
Сейчас нашел в википедии (да, знаю, но уж где нашел...) такой вариант:

$|x|' = sgn x$

$|x|'' = 2 \delta(x)$

Таким образом, если подставить производные в исходное уравнение, все сходится, остается только множитель $2$, но им, как я понимаю, можно пренебречь (потому что $0 \cdot 2 = 0 $ и $\infty \cdot 2 = \infty$).

-- 23.03.2016, 00:15 --

(Оффтоп)

amon в сообщении #1108537 писал(а):

Пока ведущий отсутствует.

Ведущий приглашал вас в соведущие в первом посте, так что не бойтесь, ведите смело.

[arseniiv]

rockclimber в сообщении #1108543 писал(а):

$|x|' = sgn x$

$|x|'' = 2 \delta(x)$

Оно самое! $x/|x| = \operatorname{sgn}x = 2\theta(x)-1$ при $x\ne0$, но обобщённая производная этого не зависит от того, какое значение мы выберем для нуля. Обычная производная, как вы нашли раньше, действительно ноль и не определена в нуле.

-- Ср мар 23, 2016 01:26:07 --

rockclimber в сообщении #1108543 писал(а):

Таким образом, если подставить производные в исходное уравнение, все сходится, остается только множитель $2$, но им, как я понимаю, можно пренебречь (потому что $0 \cdot 2 = 0 $ и $\infty \cdot 2 = \infty$).

Видимо, Munin потерял двойку, потому что она всё-таки важна, $\delta\ne2\delta$ — интегралы функции, умноженной на них, будут отличаться в два раза.

[amon]

rockclimber в сообщении #1108529 писал(а):

$\dfrac {\partial^2 \varphi} {\partial x^2} = -3x^2 \, u^{-\frac {5} {2}} $

А это - не так. Вы забыли продифференцировать $x$. А вообще, если вспомнить, что потенциал точечного заряда это аккурат $q/r,$ а его плотность - $\rho=q\delta(x),$ то ...

[rockclimber]

amon в сообщении #1108556 писал(а):

rockclimber в сообщении #1108529 писал(а):

$\dfrac {\partial^2 \varphi} {\partial x^2} = -3x^2 \, u^{-\frac {5} {2}} $

А это - не так. Вы забыли продифференцировать $x$.

Точно, спасибо. А то я смотрю-смотрю на производную, и что-то мне не нравится, а что - понять не могу...

amon в сообщении #1108556 писал(а):

А вообще, если вспомнить, что потенциал точечного заряда это аккурат $q/r,$ а его плотность - $\rho=q\delta(x),$ то ...

А это мне вообще ни о чем не говорит. Вспомнить можно только то, что когда-то знал Я так понимаю, осознать эти вещи - это одна из целей мастер-класса.